Os vetores \vec{u}=(-2,4) e \vec{v}=(7,3) formam uma base para o \mathbb{R}^{2} ?

Passo 1

O enunciado pergunta se os vetores \vec u = (-2,4) e \vec v = (7,3) formam uma base de \mathbb{R}^2. Para isso a gente precisa verificar se eles são linearmente independentes, ou seja, se o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores é diferente de zero.

Passo 2

Montamos a matriz com \vec u e \vec v como colunas e calculamos o determinante:
\det\begin{pmatrix} -2 & 7\\\\ 4 & 3 \end{pmatrix} =(-2)\cdot3 - 4\cdot7 = -6 - 28 = -34 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, sendo dois vetores em \mathbb{R}^2, formam base.

Resposta

Sim, formam uma base de \mathbb{R}^2.

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