Os vetores \vec{u}=(-2,2,3), \vec{v}=(1,3,4) e \vec{w}=(-5,1,2) formam uma base para o \mathbb{R}^{3} ?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(-2,2,3),\quad \vec{v}=(1,3,4),\quad \vec{w}=(-5,1,2)
e pergunta se eles formam uma base de \mathbb{R}^3. Para isso precisamos verificar se são linearmente independentes (ou equivalentemente se o determinante da matriz formada por eles como colunas é não nulo).

Passo 2

Montamos a matriz A cujas colunas são \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}:
A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -5 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}.
Eles formam base se, e somente se, \det(A)\neq0.

Passo 3

Calculamos o determinante de A pela regra de Sarrus ou pela expansão na primeira linha:
\det(A) = -2\,(3\cdot2 - 1\cdot4) - 1\,(2\cdot2 - 1\cdot3) + (-5)\,(2\cdot4 - 3\cdot3).
Dentro dos parênteses temos
3\cdot2 - 1\cdot4 = 6-4 = 2,\quad 2\cdot2 - 1\cdot3 = 4-3 = 1,\quad 2\cdot4 - 3\cdot3 = 8-9 = -1.
Logo
\det(A) = -2\cdot2 \;-\;1\cdot1\;+\;(-5)\cdot(-1) = -4 - 1 + 5 = 0.

Passo 4

Como \det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

Não, os vetores não formam uma base de \mathbb{R}^3.

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