Sejam x=0.66667 e y=0.666998 aproximações para \frac{2}{3}. Determine o erro absoluto e o erro relativo em x e y. Quantas casas decimais corretas têm x e y?

Passo 1

O enunciado dá duas aproximações para \dfrac{2}{3}:
  • x=0{,}66667
  • y=0{,}666998
Pede:
  • O erro absoluto e o erro relativo para x e para y.
  • Quantas casas decimais corretas têm x e y.
Vou proceder calculando primeiro os erros (com definições claras) e depois contarei as casas decimais corretas comparando dígito a dígito com a representação decimal exata de \dfrac{2}{3}=0{,}666666\ldots.

Passo 2

Definições (explicadas):
  • Erro absoluto: é a diferença entre a aproximação e o valor exato, em módulo. Formula:
\text{erro absoluto} = \left|\text{aproximação} - \text{valor exato}\right|.çã
Aqui o valor exato é \dfrac{2}{3}.
  • Erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo valor exato (medida relativa ao tamanho do valor). Formula:
\text{erro relativo} = \frac{\text{erro absoluto}}{\left|\text{valor exato}\right|}.
Como \dfrac{2}{3}>0 podemos dividir diretamente por \dfrac{2}{3}.

Passo 3

Cálculo do erro absoluto para x.
Escrever x em fração decimal exata: x=\dfrac{66667}{100000}. Então
\left|x-\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{66667}{100000}-\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{66667\cdot 3-2\cdot 100000}{300000}\right| = \left|\frac{200001-200000}{300000}\right| = \frac{1}{300000}.
Em decimal isso é
\frac{1}{300000}=0{,}00000333333\ldots

Passo 4

Cálculo do erro relativo para x.
Usando a fórmula,
\text{erro relativo}_x = \frac{1/300000}{2/3} = \frac{1}{300000}\cdot\frac{3}{2} = \frac{1}{200000}.
Em decimal:
\frac{1}{200000}=0{,}000005.

Passo 5

Cálculo do erro absoluto para y.
Escrever y como fração: y=\dfrac{666998}{1000000}. Então
\left|y-\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{666998}{1000000}-\frac{2}{3}\right| = \left|\frac{666998\cdot 3-2\cdot 1000000}{3000000}\right| = \left|\frac{2000994-2000000}{3000000}\right| = \frac{994}{3000000}.
Podemos simplificar dividindo por 2:
\frac{994}{3000000}=\frac{497}{1500000}.
Em decimal:
\frac{497}{1500000}=0{,}00033133333\ldots

Passo 6

Cálculo do erro relativo para y.
\text{erro relativo}_y = \frac{\frac{497}{1500000}}{\frac{2}{3}} = \frac{497}{1500000}\cdot\frac{3}{2} = \frac{1491}{3000000}.
Em decimal:
\frac{1491}{3000000}=0{,}000497.

Passo 7

Como contar casas decimais corretas (método prático):
  • Escrever a representação decimal exata de \dfrac{2}{3}: 0{,}666666\ldots (série infinita de 6).
  • Comparar dígito a dígito após a vírgula entre a aproximação e o valor exato; o número de casas corretas é a quantidade de dígitos coincidentes desde a primeira casa decimal até o primeiro dígito diferente.
Aplicando ao caso:
  • Para x=0{,}66667: os dígitos são 6,6,6,6,7. Comparando com 0{,}666666\ldots vemos que as quatro primeiras casas decimais coincidem (6,6,6,6) e na quinta há discrepância (7 versus 6). Logo x tem 4 casas decimais corretas.
  • Para y=0{,}666998: os dígitos são 6,6,6,9,\ldots. Há discrepância já na quarta casa decimal (9 versus 6). Assim y tem 3 casas decimais corretas (as três primeiras).

Resposta

x: erro absoluto =\dfrac{1}{300000}\approx 0{,}00000333333
x: erro relativo =\dfrac{1}{200000}=0{,}000005
x: casas decimais corretas =4
y: erro absoluto =\dfrac{497}{1500000}\approx 0{,}00033133333
y: erro relativo =\dfrac{1491}{3000000}=0{,}000497
y: casas decimais corretas =3

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