Determine o menor valor possível dos parâmetros do sistema de ponto flutuante \mathrm{F}\left(2, n, e_{\text {min }}, e_{\text {max }}\right) para que o número 12.875 admita representação normalizada exata neste sistema.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o número 12{,}875.
  • Dá um sistema de ponto flutuante \mathrm{F}\bigl(2,n,e_{\text{min}},e_{\text{max}}\bigr) (base 2).
  • Pede o menor valor possível dos parâmetros do sistema para que 12{,}875 tenha representação normalizada exata nesse sistema.
Informações relevantes listadas:
  • É necessário que exista uma representação normalizada exata de 12{,}875 em base 2.
  • Para isso precisamos escolher n (número de dígitos do significando) e um intervalo de expoentes tal que a forma normalizada \pm d_0.d_1d_2\ldots d_{n-1}\times2^{e} represente exatamente 12{,}875.
  • Em base 2 a mantissa normalizada tem d_0=1 e n é o número total de dígitos do significando (o dígito antes do ponto mais os n-1 dígitos depois do ponto).

Passo 2

Converter 12{,}875 para base 2 (método passo a passo):
  • Separar parte inteira e parte fracionária: parte inteira 12 e parte fracionária 0{,}875.
  • Converter a parte inteira 12 para binário: 12_{10}=8+4=2^{3}+2^{2}\longrightarrow 12_{10}=1100_{2}.Verificação rápida: 1\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}=8+4+0+0=12.
  • Converter a parte fracionária 0{,}875 para binário usando multiplicações por 2: 0{,}875\cdot2=1{,}75\Rightarrow\text{bit }1,manter a parte fracionária 0{,}75. 0{,}75\cdot2=1{,}5\Rightarrow\text{bit }1,parte fracionária 0{,}5. 0{,}5\cdot2=1{,}0\Rightarrow\text{bit }1,parte fracionária 0 e termina.
    Logo 0{,}875_{10}=0{,}111_{2}.
  • Juntando parte inteira e fracionária: 12{,}875_{10}=1100{,}111_{2}.

Passo 3

Escrever na forma normalizada (base 2):
  • Vamos deslocar o ponto binário para deixar um único dígito não-nulo à esquerda (normalização). A escrita atual é 1100{,}111_{2}.
  • Mover o ponto três posições para a esquerda dá: 1100{,}111_{2}=1{,}100111_{2}\times2^{3}.
  • Portanto a representação normalizada exata é 1{,}100111_{2}\times2^{3}.

Passo 4

Determinar o menor n (número de dígitos do significando) necessário:
  • Na forma normalizada obtida o significando (mantissa) é 1{,}100111_{2}.
  • Contando dígitos: há um dígito antes do ponto (o 1) e 6 dígitos depois do ponto ( 100111). Logo o número total de dígitos do significando é n=1+6=7.
  • Interpretação: com n=7 dígitos do significando (um antes do ponto e seis depois) a representação é exata; qualquer n<7 cortaria bits necessários e causaria aproximação/erro.
  • Conclusão: o menor valor possível para n que permite representação normalizada exata é n=7.

Passo 5

Determinar os limites de expoente e_{\text{min}},e_{\text{max}}:
  • Na forma normalizada encontramos o expoente e=3.
  • Para que a representação exista no sistema é preciso que o expoente 3 esteja no intervalo permitido: e_{\text{min}}\le 3\le e_{\text{max}}.
  • Agora, se a pergunta pede os menores valores possíveis dos parâmetros e_{\text{min}} e e_{\text{max}} que ainda permitem a representação, podemos escolher os menores números (em valor absoluto de intervalo) que satisfazem a desigualdade. O menor valor possível para e_{\text{max}} que permite e=3 é e_{\text{max}}=3.E, para que o intervalo seja consistente, o menor valor possível para e_{\text{min}} compatível com e_{\text{min}}\le3 é (se quisermos minimizar ambos) também e_{\text{min}}=3,caso em que o intervalo de expoentes se reduz ao único valor 3 (isto é permitido, embora muito restritivo).
  • Observação didática: qualquer escolha com e_{\text{min}}\le3\le e_{\text{max}} funciona; a escolha e_{\text{min}}=e_{\text{max}}=3 é a que dá os menores valores numéricos possíveis para ambos, ainda permitindo a representação exata de 12{,}875.

Passo 6

Resumo didático breve (por que cada coisa importa):
  • O número de dígitos n determina quantos bits do significando são armazenados; como o número exige seis bits fracionários além do bit leading 1, é preciso n\ge7.
  • O intervalo de expoentes deve conter o expoente da representação normalizada; aqui o expoente é 3, logo o intervalo deve conter 3.
  • Assim a escolha mínima (em termos de valores numéricos de cada parâmetro) que cumpre tudo é n=7 e e_{\text{min}}=e_{\text{max}}=3. Isso garante representação normalizada exata de 12{,}875.

Resposta

n=7,\\ e_{\text{min}}=3,\\ e_{\text{max}}=3

Exercícios relacionados