Determine o menor valor possível dos parâmetros do sistema de ponto flutuante
para que o número 12.875 admita representação normalizada exata neste sistema.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o número
. - Dá um sistema de ponto flutuante
(base ). - Pede o menor valor possível dos parâmetros do sistema para que
tenha representação normalizada exata nesse sistema.
Informações relevantes listadas:
- É necessário que exista uma representação normalizada exata de
em base . - Para isso precisamos escolher
(número de dígitos do significando) e um intervalo de expoentes tal que a forma normalizada represente exatamente . - Em base
a mantissa normalizada tem e é o número total de dígitos do significando (o dígito antes do ponto mais os dígitos depois do ponto).
Passo 2
Converter
para base
(método passo a passo):
- Separar parte inteira e parte fracionária: parte inteira
e parte fracionária . - Converter a parte inteira
para binário: Verificação rápida: . - Converter a parte fracionária
para binário usando multiplicações por : manter a parte fracionária . parte fracionária . parte fracionária e termina.
Logo. - Juntando parte inteira e fracionária:
Passo 3
Escrever na forma normalizada (base
):
- Vamos deslocar o ponto binário para deixar um único dígito não-nulo à esquerda (normalização). A escrita atual é
. - Mover o ponto três posições para a esquerda dá:
- Portanto a representação normalizada exata é
Passo 4
Determinar o menor
(número de dígitos do significando) necessário:
- Na forma normalizada obtida o significando (mantissa) é
. - Contando dígitos: há um dígito antes do ponto (o
) e dígitos depois do ponto ( ). Logo o número total de dígitos do significando é - Interpretação: com
dígitos do significando (um antes do ponto e seis depois) a representação é exata; qualquer cortaria bits necessários e causaria aproximação/erro. - Conclusão: o menor valor possível para
que permite representação normalizada exata é .
Passo 5
Determinar os limites de expoente
:
- Na forma normalizada encontramos o expoente
. - Para que a representação exista no sistema é preciso que o expoente
esteja no intervalo permitido: - Agora, se a pergunta pede os menores valores possíveis dos parâmetros
e que ainda permitem a representação, podemos escolher os menores números (em valor absoluto de intervalo) que satisfazem a desigualdade. O menor valor possível para que permite é E, para que o intervalo seja consistente, o menor valor possível para compatível com é (se quisermos minimizar ambos) também caso em que o intervalo de expoentes se reduz ao único valor (isto é permitido, embora muito restritivo). - Observação didática: qualquer escolha com
funciona; a escolha é a que dá os menores valores numéricos possíveis para ambos, ainda permitindo a representação exata de .
Passo 6
Resumo didático breve (por que cada coisa importa):
- O número de dígitos
determina quantos bits do significando são armazenados; como o número exige seis bits fracionários além do bit leading , é preciso . - O intervalo de expoentes deve conter o expoente da representação normalizada; aqui o expoente é
, logo o intervalo deve conter . - Assim a escolha mínima (em termos de valores numéricos de cada parâmetro) que cumpre tudo é
e . Isso garante representação normalizada exata de .