Considere um computador cujo sistema de representação de números é definido pelo sistema de ponto flutuante \mathrm{F}(10,4,-4,5).
Se x=42450 e y=3, qual o resultado de x+y ?

Passo 1

O enunciado pede para somar x e y usando o sistema de ponto flutuante \mathrm{F}(10,4,-4,5). Os dados fornecidos são:
  • Base: \beta=10.
  • Precisão (número de dígitos significativos): t=4.
  • Expoentes permitido: L=-4 e U=5 (não haverá estouro/underflow para os números dados).
  • x = 42450.
  • y = 3.
A pergunta é: qual é o resultado de x+y quando a operação é efetuada nesse sistema de ponto flutuante?

Passo 2

Entender como representar um número no formato \mathrm{F}(10,4,-4,5).
  • Um número normalizado tem a forma \,d_0.d_1d_2d_3\times10^{e}\, com exatamente t=4 dígitos significativos d_0,d_1,d_2,d_3 e d_0\neq0.
  • O último dígito significativo corresponde à posição 10^{e-(t-1)}. Isso significa que a unidade do último dígito (ulp) para um número com expoente e vale 10^{e-(t-1)}.

Passo 3

Representar x e y no formato normalizado com t=4.
  • Para x=42450: escrever em forma científica \,42450 = 4{,}2450\times10^{4}\,. Com t=4 mantemos quatro dígitos significativos: \,x \approx 4{,}245\times10^{4}\, (os quatro dígitos são 4,2,4,5). Aqui a representação é exata porque o quinto dígito é 0.
  • Para y=3: escrever \,3 = 3{,}000\times10^{0}\, (os quatro dígitos são 3,0,0,0).

Passo 4

Preparar a soma alinhando os expoentes (devemos somar mantissas com mesmo expoente).
  • Escolhemos o maior expoente, e=4, para alinhar.
  • Manter x como \,4{,}245\times10^{4}.
  • Escrever y com expoente 4: ao aumentar o expoente de 0 para 4 a mantissa é deslocada para a direita 4 casas: y = 3{,}000\times10^{0} = 0{,}0003{,}000\times10^{4}.Mais simplesmente, em forma decimal alinhada temos a soma das mantissas: 4{,}245\quad (+)\quad 0{,}0003\quad=\quad 4{,}2453.

Passo 5

Aplicar arredondamento ao resultado para caber em t=4 dígitos significativos.
  • O resultado exato das mantissas alinhadas é \,4{,}2453\times10^{4}.
  • Precisamos arredondar para 4 dígitos significativos, isto é, manter \,d_0.d_1d_2d_3.
  • Olhando o quinto dígito (o que fica após os 4 dígitos), ele é 3 (em \,4{,}2453). Como 3<5, arredondamos para baixo, ficando \text{mantissa arredondada} = 4{,}245.
  • Portanto o resultado arredondado em ponto flutuante é \,4{,}245\times10^{4}.

Passo 6

Interpretar o arredondamento em valor decimal e checar se houve perda (cancelamento ou perda de informação).
  • \,4{,}245\times10^{4} = 42450.
  • A soma exata x+y = 42450 + 3 = 42453.
  • O sistema com t=4 tem um espaçamento (ulp) na ordem de 10^{4-(4-1)}=10^{1}=10 nessa magnitude, isto é, números representáveis distintos nessa ordem estão separados por 10. Como y=3 é menor que a metade de um ulp ( 5), a adição de 3 não muda o número representável mais próximo; por isso o resultado permanece 42450.

Passo 7

Verificar expoente dentro do intervalo permitido.
  • O resultado tem expoente e=4, que está dentro de [L,U]=[-4,5]. Logo não há overflow/underflow.

Resposta

42450

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