Uma variável aleatória
tem distribuição
(chiquadrado) com
graus de liberdade se
tem a mesma distribuição de
onde
são variáveis i.i.d. com distribuição normal padrão. Sabendo disso, faça o que se pede
b) Encontre a função geradora de momento de
.
b) Encontre a função geradora de momento de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a distribuição qui-quadrado, que é um conceito da Estatística, mais especificamente da Teoria das Probabilidades. O exercício pede para encontrar a função geradora de momento da variável aleatória $ X_n $ que segue uma distribuição $ \chi^2 $ com $ n $ graus de liberdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função geradora de momento (FGM). A FGM de uma variável aleatória $ X $ é uma função que ajuda a calcular os momentos (como média, variância, etc.) de $ X $. Ela é definida como:
onde $ \mathbb{E} $ é o valor esperado.
Passo 3
Agora, sabemos que $ X_n $ segue uma distribuição qui-quadrado com $ n $ graus de liberdade, ou seja:
onde cada $ Z_i $ é uma variável aleatória normal padrão (média 0 e variância 1) e são independentes.
Passo 4
Como os $ Z_i $ são independentes, a FGM de $ X_n $ será o produto das FGMs de cada $ Z_i^2 $. Primeiro, precisamos encontrar a FGM de $ Z_i^2 $.
Sabemos que se $ Z $ é uma variável normal padrão, então $ Z^2 $ segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. A FGM de uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade é:
Passo 5
Já que $ X_n $ é a soma de $ n $ variáveis independentes $ Z_i^2 $, a FGM de $ X_n $ será:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
A função geradora de momento de $ X_n $ é: