Sejam
uma amostra aleatória extraída de uma população
. Encontre estimador(es) usado o método dos momentos quando
tem distribuição:
.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
de uma população com distribuição
e pede: encontrar estimador(es) obtido(s) pelo método dos momentos.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Temos
observações independentes .\n - A distribuição da população é
. Aqui está implícito que o primeiro parâmetro é o parâmetro desconhecido (shape) a ser estimado e o segundo parâmetro é a escala fixa igual a .\n - O objetivo é aplicar o método dos momentos para obter o(s) estimador(es) de
.
Passo 2
O que é o método dos momentos (explicação didática e passo a passo)?\n
- Ideia principal: igualar momentos amostrais aos momentos teóricos da distribuição e resolver para os parâmetros desconhecidos.\n
- Momento amostral de ordem 1 (a média amostral) é
onde
é uma quantidade que podemos calcular a partir dos dados.\n
- Momento teórico de ordem 1 (a esperança) da distribuição é
, que depende dos parâmetros da distribuição (aqui depende de e do valor conhecido ).\n - Para um único parâmetro desconhecido, basta usar a igualdade
e resolver essa equação para o parâmetro desconhecido.\n
Observação: estou usando apenas o primeiro momento porque só há um parâmetro desconhecido ( ). Se houvesse dois parâmetros desconhecidos, usaríamos os dois primeiros momentos (média e segundo momento) e montaríamos um sistema com duas equações.
Observação: estou usando apenas o primeiro momento porque só há um parâmetro desconhecido (
Passo 3
Calcular o momento teórico (esperança) da
e interpretar as variáveis.\n
- Para a parametrização usada (shape
, escala ), a média da distribuição Gama é dada por
- Aqui,
e . Portanto
Explicando as variáveis:
é o parâmetro desconhecido que queremos estimar;
é a escala conhecida;
é a média verdadeira da população.
Passo 4
Aplicar o método dos momentos: igualar média amostral à média teórica e resolver para
.\n
- Igualando
temos uma equação simples em
.\n
- Resolver para
:
Portanto o estimador pelo método dos momentos é a média amostral dividida por
.
Passo 5
Verificar propriedades úteis do estimador (mais didática: esperança e variância para saber comportamento na prova).\n
- Primeiro, calcular
. Como e é média de observações independentes,
- Então a esperança do estimador
é
ou seja, o estimador é não viesado (unbiased).\n
- Agora a variância: para a Gama com shape
e escala , a variância de é
- A variância da média amostral é
- Logo a variância do estimador é
Interpretação rápida: a variância diminui quando
aumenta; o estimador é consistente (variância vai para zero conforme
).