Sejam X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória extraída de uma população X. Encontre estimador(es) usado o método dos momentos quando X tem distribuição:
\operatorname{Gama}(\theta, 2).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},\ldots,X_{n} de uma população com distribuição \operatorname{Gama}(\theta,2) e pede: encontrar estimador(es) obtido(s) pelo método dos momentos.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos n observações independentes X_{1},\ldots,X_{n}.\n
  • A distribuição da população é \operatorname{Gama}(\theta,2). Aqui está implícito que o primeiro parâmetro \theta é o parâmetro desconhecido (shape) a ser estimado e o segundo parâmetro é a escala fixa igual a 2.\n
  • O objetivo é aplicar o método dos momentos para obter o(s) estimador(es) de \theta.

Passo 2

O que é o método dos momentos (explicação didática e passo a passo)?\n
  • Ideia principal: igualar momentos amostrais aos momentos teóricos da distribuição e resolver para os parâmetros desconhecidos.\n
  • Momento amostral de ordem 1 (a média amostral) é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i},
onde \bar{X} é uma quantidade que podemos calcular a partir dos dados.\n
  • Momento teórico de ordem 1 (a esperança) da distribuição é E[X], que depende dos parâmetros da distribuição (aqui depende de \theta e do valor conhecido 2).\n
  • Para um único parâmetro desconhecido, basta usar a igualdade
\bar{X}=E[X]
e resolver essa equação para o parâmetro desconhecido.\n
Observação: estou usando apenas o primeiro momento porque só há um parâmetro desconhecido ( \theta). Se houvesse dois parâmetros desconhecidos, usaríamos os dois primeiros momentos (média e segundo momento) e montaríamos um sistema com duas equações.

Passo 3

Calcular o momento teórico (esperança) da \operatorname{Gama}(\theta,2) e interpretar as variáveis.\n
  • Para a parametrização usada (shape \theta, escala 2), a média da distribuição Gama é dada por
E[X]=(\text{shape})\times(\text{scale}).
  • Aqui, \text{shape}=\theta e \text{scale}=2. Portanto
E[X]=\theta\cdot 2 = 2\theta.
Explicando as variáveis: \theta é o parâmetro desconhecido que queremos estimar; 2 é a escala conhecida; E[X] é a média verdadeira da população.

Passo 4

Aplicar o método dos momentos: igualar média amostral à média teórica e resolver para \theta.\n
  • Igualando
\bar{X}=E[X]=2\theta,
temos uma equação simples em \theta.\n
  • Resolver para \theta:
\theta=\frac{\bar{X}}{2}.
Portanto o estimador pelo método dos momentos é a média amostral dividida por 2.

Passo 5

Verificar propriedades úteis do estimador (mais didática: esperança e variância para saber comportamento na prova).\n
  • Primeiro, calcular E[\bar{X}]. Como E[X]=2\theta e \bar{X} é média de n observações independentes,
E[\bar{X}]=E[X]=2\theta.
  • Então a esperança do estimador \widehat{\theta}_{MM}=\dfrac{\bar{X}}{2} é
E\!\left[\widehat{\theta}_{MM}\right]=\frac{E[\bar{X}]}{2}=\frac{2\theta}{2}=\theta,
ou seja, o estimador é não viesado (unbiased).\n
  • Agora a variância: para a Gama com shape \theta e escala 2, a variância de X é
\operatorname{Var}(X)=(\text{shape})\times(\text{scale})^{2}=\theta\cdot 2^{2}=4\theta.
  • A variância da média amostral é
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\operatorname{Var}(X)}{n}=\frac{4\theta}{n}.
  • Logo a variância do estimador é
\operatorname{Var}\!\left(\widehat{\theta}_{MM}\right)=\operatorname{Var}\!\left(\frac{\bar{X}}{2}\right)=\frac{1}{4}\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{1}{4}\cdot\frac{4\theta}{n}=\frac{\theta}{n}.
Interpretação rápida: a variância diminui quando n aumenta; o estimador é consistente (variância vai para zero conforme n\to\infty).

Resposta

\widehat{\theta}_{MM}=\dfrac{\bar{X}}{2}

Exercícios relacionados