Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com X. Definimos a covariância entre Y e Cov(X, Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] por Cov(X, Y)=Cov(Y, X). Mostre que
.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a covariância é simétrica, ou seja, que Cov(X,Y)=Cov(Y,X). Vamos usar a definição de covariância e o fato de que o produto de números reais comuta.

Passo 2

Pela definição temos Cov(X,Y)=El[(X-E[X])(Y-E[Y])r]. Aqui estamos aplicando a linearidade da esperança só para lembrar o formato do que vamos comparar. Como a multiplicação em R é comutativa, vale
(X-E[X])(Y-E[Y])=(Y-E[Y])(X-E[X])
Tirando esperança de ambos os lados e usando a definição de covariância, obtemos
El[(X-E[X])(Y-E[Y])r] =El[(Y-E[Y])(X-E[X])r]
ou seja,
Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

Resposta

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

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