Sejam
e
duas variáveis aleatórias com
. Definimos a covariância entre
e
por
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a covariância é simétrica, ou seja, que
. Vamos usar a definição de covariância e o fato de que o produto de números reais comuta.
Passo 2
Pela definição temos
. Aqui estamos aplicando a linearidade da esperança só para lembrar o formato do que vamos comparar. Como a multiplicação em
é comutativa, vale
Tirando esperança de ambos os lados e usando a definição de covariância, obtemos
ou seja,