Sejam
e
duas variáveis aleatórias com
. Definimos a covariância entre
e
por
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a covariância de uma variável aleatória consigo mesma é não negativa. O conteúdo é covariância e variância, e vamos precisar usar a definição de covariância e a propriedade de expectativa de uma variável não negativa.
Passo 2
Pela definição de covariância temos
Repare que o produto
Passo 3
Como para todo valor real
vale
, o integrando é sempre não negativo. E pela propriedade de expectativa de variáveis não negativas,