Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com X. Definimos a covariância entre Y e Cov(X, Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])] por Cov(X, X) >= 0. Mostre que
.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a covariância de uma variável aleatória consigo mesma é não negativa. O conteúdo é covariância e variância, e vamos precisar usar a definição de covariância e a propriedade de expectativa de uma variável não negativa.

Passo 2

Pela definição de covariância temos
Cov(X,X)=El[(X-E[X])(X-E[X])r]
Repare que o produto (X-E[X])(X-E[X]) é exatamente o quadrado (X-E[X])^2. Logo
Cov(X,X)=El[(X-E[X])^2r],

Passo 3

Como para todo valor real z vale z^2>=0, o integrando é sempre não negativo. E pela propriedade de expectativa de variáveis não negativas,
El[(X-E[X])^2r]>=0

Resposta

Cov(X,X)>=0.

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