Sejam x, y \in \mathrm{IR}. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
\sqrt{x^{2}}=(\sqrt{x})^{2}

Passo 1

O enunciado pergunta se vale, para todo x\in\mathbb{R}, a igualdade
\sqrt{x^{2}} = \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}.
O conteúdo envolvido aqui é a definição de raiz quadrada principal e propriedades de valor absoluto.

Passo 2

Por definição, a raiz quadrada principal \sqrt{u} está definida apenas para u\ge0 e sempre retorna o número não-negativo cujo quadrado é u. Ou seja, para u\ge0,
\bigl(\sqrt{u}\bigr)^{2} = u.

Passo 3

Já o termo \sqrt{x^{2}} está bem definido para todo x\in\mathbb{R}. Pela definição da raiz principal,
\sqrt{x^{2}} = |x|.

Passo 4

Comparemos os dois lados:
  • O lado esquerdo é \sqrt{x^{2}} = |x|.
  • O lado direito é \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}, que está definido somente se x\ge0 e nesse caso vale
\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2} = x.
Portanto, em geral
\sqrt{x^{2}} = |x| \quad\text{e}\quad \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2} = x\quad(\text{só para }x\ge0).ó

Passo 5

Concluímos que a igualdade \sqrt{x^{2}} = (\sqrt{x})^{2} só é verdadeira quando x\ge0. Para x<0 o segundo membro sequer está definido (ou, se for estendido, dá x, que é negativo), enquanto o primeiro dá |x|>0.

Resposta

A afirmação é falsa em \mathbb{R} de forma geral; vale apenas para x\ge0, pois
\sqrt{x^{2}}=|x|\neq x \quad\text{quando }x<0.

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