Sejam
. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se vale, para todo
, a igualdade
O conteúdo envolvido aqui é a definição de raiz quadrada principal e propriedades de valor absoluto.
Passo 2
Por definição, a raiz quadrada principal
está definida apenas para
e sempre retorna o número não-negativo cujo quadrado é
. Ou seja, para
,
Passo 3
Já o termo
está bem definido para todo
. Pela definição da raiz principal,
Passo 4
Comparemos os dois lados:
- O lado esquerdo é
. - O lado direito é
, que está definido somente se e nesse caso vale
Portanto, em geral
Passo 5
Concluímos que a igualdade
só é verdadeira quando
. Para
o segundo membro sequer está definido (ou, se for estendido, dá
, que é negativo), enquanto o primeiro dá
.
Resposta
A afirmação é falsa em
de forma geral; vale apenas para
, pois