Sejam
. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a igualdade
para
. O conteúdo é propriedades de radicais e domínio de definição da raiz quadrada em
.
Passo 2
Lembrete: em
, a função
está definida apenas para argumentos não negativos. Logo, para
fazermos sentido real, precisamos de
Para
e
existirem em
, é preciso que
Passo 3
Quando
e
, todas as raízes estão bem definidas e podemos usar a propriedade
Nesse caso, a igualdade é verdadeira.
Passo 4
Se
ou
forem negativos, a expressão
ou
deixa de estar definida em
, mesmo que
seja não negativo. Por exemplo,
dá
mas
não existe em
. Portanto, fora do caso
e
, a igualdade não faz sentido real e deve ser considerada falsa no contexto dos números reais.
Resposta
A igualdade é verdadeira se, e somente se,
e
. Fora desse domínio a afirmação é falsa (ou sem sentido em
).