Sejam x, y \in \mathrm{IR}. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a igualdade
\sqrt{\frac{x}{y}} \;=\;\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
para x,y\in\mathbb{R}. O conteúdo é propriedades de radicais e domínio de definição da raiz quadrada em \mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete: em \mathbb{R}, a função \sqrt{\cdot} está definida apenas para argumentos não negativos. Logo, para \sqrt{\tfrac{x}{y}} fazermos sentido real, precisamos de
\frac{x}{y}\ge0.
Para \sqrt{x} e \sqrt{y} existirem em \mathbb{R}, é preciso que
x\ge0 \quad\text{e}\quad y\ge0.

Passo 3

Quando x\ge0 e y>0, todas as raízes estão bem definidas e podemos usar a propriedade
\sqrt{\frac{x}{y}} =\sqrt{x\cdot\frac{1}{y}} =\sqrt{x}\,\sqrt{\frac{1}{y}} =\sqrt{x}\,\frac{1}{\sqrt{y}} =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}.
Nesse caso, a igualdade é verdadeira.

Passo 4

Se x ou y forem negativos, a expressão \sqrt{x} ou \sqrt{y} deixa de estar definida em \mathbb{R}, mesmo que \tfrac{x}{y} seja não negativo. Por exemplo, x=y=-1
\sqrt{\tfrac{-1}{-1}}=\sqrt{1}=1,
mas \sqrt{-1} não existe em \mathbb{R}. Portanto, fora do caso x\ge0 e y>0, a igualdade não faz sentido real e deve ser considerada falsa no contexto dos números reais.

Resposta

A igualdade é verdadeira se, e somente se, x\ge0 e y>0. Fora desse domínio a afirmação é falsa (ou sem sentido em \mathbb{R}).

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