Sejam
. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos pede para analisar a igualdade
para
. Vamos usar o fato de que, em
, a função
é definida apenas para argumentos não negativos e sempre retorna um valor não negativo.
Passo 2
Determinar o domínio de cada lado:
– O lado esquerdo exige
, ou seja
.
– O lado direito exige
(para
estar definida).
– O lado esquerdo
– O lado direito
Passo 3
O domínio comum em que ambos os lados estão definidos é a interseção
Isso significa que, para
, a igualdade envolve um lado indefinido no sentido de números reais.
Passo 4
Verificar o caso
:
De fato, para
a igualdade vale, pois ambos os lados são zero.
Passo 5
Como a igualdade só faz sentido simultaneamente em
e falha para qualquer outro
, não se trata de uma identidade verdadeira para todos os
.
Resposta
A afirmação é falsa, pois
só é válida em
e não se mantém para valores diferentes de zero.