Sejam x, y \in \mathrm{IR}. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Quais são falsas? Justifique a sua resposta.
\sqrt{-x}=-\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a igualdade
\sqrt{-x} \;=\; -\,\sqrt{x}
para x\in\mathbb{R}. Vamos usar o fato de que, em \mathbb{R}, a função \sqrt{\cdot} é definida apenas para argumentos não negativos e sempre retorna um valor não negativo.

Passo 2

Determinar o domínio de cada lado:
– O lado esquerdo \sqrt{-x} exige -x\ge0, ou seja x\le0.
– O lado direito -\sqrt{x} exige x\ge0 (para \sqrt{x} estar definida).

Passo 3

O domínio comum em que ambos os lados estão definidos é a interseção
\{\,x\le0\}\,\cap\,\{\,x\ge0\} \;=\;\{\,0\}.
Isso significa que, para x\neq0, a igualdade envolve um lado indefinido no sentido de números reais.

Passo 4

Verificar o caso x=0:
\sqrt{-0} = 0 \quad\text{e}\quad -\,\sqrt{0} = -\,0 = 0.
De fato, para x=0 a igualdade vale, pois ambos os lados são zero.

Passo 5

Como a igualdade só faz sentido simultaneamente em x=0 e falha para qualquer outro x, não se trata de uma identidade verdadeira para todos os x\in\mathbb{R}.

Resposta

A afirmação é falsa, pois \sqrt{-x} = -\sqrt{x} só é válida em x=0 e não se mantém para valores diferentes de zero.

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