Sejam
e
variáveis aleatórias independentes com distribuição gama
, ) e
respectivamente e seja
. Determinar: (b)
.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos duas variáveis aleatórias, X e Y, que são independentes e seguem distribuições gama. A X segue uma distribuição gama com parâmetros $ r_1 $ e $ \lambda $, e a Y segue uma distribuição gama com parâmetros $ r_4 $ e $ \lambda $. Queremos encontrar a esperança condicional de X dado que a soma $ Z = X + Y $ é igual a z, ou seja, $ E(X \mid Z = z) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuições gama e propriedades de variáveis aleatórias independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se X e Y são independentes e seguem distribuições gama com o mesmo parâmetro de taxa $ \lambda $, então a soma $ Z = X + Y $ também segue uma distribuição gama. Os parâmetros de forma dessa soma são a soma dos parâmetros de forma das distribuições individuais. Matematicamente, isso significa que $ Z \sim G(r_1 + r_4, \lambda) $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ E(X \mid Z = z) $. Para isso, vamos considerar a propriedade da distribuição gama que, quando temos a soma de variáveis gama com o mesmo parâmetro de taxa, a distribuição condicional de uma das variáveis dado a soma segue uma distribuição Beta. Isso nos leva a usar a expectativa de uma variável que segue uma distribuição Beta.
Passo 4
Especificamente, a distribuição condicional $ X \mid Z = z $ segue uma distribuição Beta com parâmetros $ r_1 $ e $ r_4
\alpha, \beta $) é dada por $ \frac{\alpha}{\alpha + \beta} $. Aplicando isso à nossa situação, temos:
Resposta
A esperança condicional de X dado que $ Z = z $ é: