Suponha que X1, ldots, X5 são variáveis aleatórias com cuja função densidade conjunta pode ser fatorada como:
f(x1, x2, ldots, x5)=g(x1, x2) h(x3, x4, x5)
Mostre que se Y1=r1(X1, X2) e Y2=r2(X3, X4, X5), então as variáveis Y1 e Y2 são independentes.

Passo 1

Então, a gente tem cinco variáveis aleatórias $ X_{1}, X_{2}, ···, X_{5} $ com uma função densidade conjunta que pode ser escrita como $ f\left(x_{1}, x_{2}, ···, x_{5}\right) = g\left(x_{1}, x_{2}\right) h\left(x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) $. Queremos mostrar que, se definirmos $ Y_{1} = r_{1}\left(X_{1}, X_{2}\right) $ e $ Y_{2} = r_{2}\left(X_{3}, X_{4}, X_{5}\right) $, então $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ são independentes. Para isso, vamos precisar entender sobre independência de variáveis aleatórias e como transformar variáveis mantendo essa independência.

Passo 2

Primeiro, lembrar que duas variáveis aleatórias são independentes se a função densidade conjunta delas pode ser escrita como o produto das funções densidade marginais. Ou seja, $ f_{Y_{1}, Y_{2}}(y_{1}, y_{2}) = f_{Y_{1}}(y_{1}) \cdot f_{Y_{2}}(y_{2}) $.

Passo 3

Vamos encontrar a função densidade conjunta de $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $. Como $ Y_{1} $ depende só de $ X_{1} $ e $ X_{2} $, e $ Y_{2} $ depende só de $ X_{3} $, $ X_{4} $ e $ X_{5} $, a função densidade conjunta $ f_{Y_{1}, Y_{2}}(y_{1}, y_{2}) $ pode ser obtida transformando as variáveis na função densidade original.

Passo 4

Como a função densidade conjunta original fatoriza em $ g(x_{1}, x_{2}) $ e $ h(x_{3}, x_{4}, x_{5}) $, ao transformar para $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $, a nova função densidade conjunta também vai fatorar, ou seja, $ f_{Y_{1}, Y_{2}}(y_{1}, y_{2}) = g’(y_{1}) \cdot h’(y_{2}) $, onde $ g’ $ e $ h’ $ são as densidades marginais de $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ respectivamente.

Passo 5

Essa fatoração mostra que $ f_{Y_{1}, Y_{2}}(y_{1}, y_{2}) = f_{Y_{1}}(y_{1}) \cdot f_{Y_{2}}(y_{2}) $, o que, conforme lembrado no Passo 2, significa que $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ são independentes.

Resposta

Portanto, mostramos que $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ são variáveis aleatórias independentes.

Exercícios relacionados