Suponha que
são variáveis aleatórias com cuja função densidade conjunta pode ser fatorada como:
Mostre que se
e
, então as variáveis
e
são independentes.
Passo 1
Então, a gente tem cinco variáveis aleatórias $ X_{1}, X_{2}, ···, X_{5} $ com uma função densidade conjunta que pode ser escrita como $ f\left(x_{1}, x_{2}, ···, x_{5}\right) = g\left(x_{1}, x_{2}\right) h\left(x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) $. Queremos mostrar que, se definirmos $ Y_{1} = r_{1}\left(X_{1}, X_{2}\right) $ e $ Y_{2} = r_{2}\left(X_{3}, X_{4}, X_{5}\right) $, então $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ são independentes. Para isso, vamos precisar entender sobre independência de variáveis aleatórias e como transformar variáveis mantendo essa independência.
Passo 2
Primeiro, lembrar que duas variáveis aleatórias são independentes se a função densidade conjunta delas pode ser escrita como o produto das funções densidade marginais. Ou seja, $ f_{Y_{1}, Y_{2}}(y_{1}, y_{2}) = f_{Y_{1}}(y_{1}) \cdot f_{Y_{2}}(y_{2}) $.
Passo 3
Vamos encontrar a função densidade conjunta de $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $. Como $ Y_{1} $ depende só de $ X_{1} $ e $ X_{2} $, e $ Y_{2} $ depende só de $ X_{3} $, $ X_{4} $ e $ X_{5} $, a função densidade conjunta $ f_{Y_{1}, Y_{2}}(y_{1}, y_{2}) $ pode ser obtida transformando as variáveis na função densidade original.
Passo 4
Como a função densidade conjunta original fatoriza em $ g(x_{1}, x_{2}) $ e $ h(x_{3}, x_{4}, x_{5}) $, ao transformar para $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $, a nova função densidade conjunta também vai fatorar, ou seja, $ f_{Y_{1}, Y_{2}}(y_{1}, y_{2}) = g’(y_{1}) \cdot h’(y_{2}) $, onde $ g’ $ e $ h’ $ são as densidades marginais de $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ respectivamente.
Passo 5
Essa fatoração mostra que $ f_{Y_{1}, Y_{2}}(y_{1}, y_{2}) = f_{Y_{1}}(y_{1}) \cdot f_{Y_{2}}(y_{2}) $, o que, conforme lembrado no Passo 2, significa que $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ são independentes.
Resposta
Portanto, mostramos que $ Y_{1} $ e $ Y_{2} $ são variáveis aleatórias independentes.