Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes com distribuç̧ão Binomial,
e
. Seja
obtenha (d) Determine a distribuição de
dado
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir qual é a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias $ X_1 $ e $ X_2 $, que são independentes e seguem distribuições binomiais $ B(n, p) $ e $ B(m, p) $, dado que a soma delas $ Z = X_1 + X_2 $ é igual a um valor específico $ z $. A matéria aqui é Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre distribuições binomiais e distribuição condicional. Vamos precisar usar propriedades da distribuição binomial e entender como calcular distribuições condicionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se $ X_1 $ segue uma distribuição binomial $ B(n, p) $ e $ X_2 $ segue $ B(m, p) $, e elas são independentes, então a soma $ Z = X_1 + X_2 $ também segue uma distribuição binomial $ B(n + m, p) $. Ou seja, $ Z $ conta o total de sucessos em $ n + m $ tentativas, cada uma com probabilidade $ p $ de sucesso.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distribuição conjunta de $ X_1 $ e $ X_2 $ dado que $ Z = z $, ou seja, $ P(X_1 = k, X_2 = z - k \mid Z = z) $. Como $ Z = X_1 + X_2 $, saber que $ Z = z $ significa que a soma das duas variáveis é fixa.
Passo 4
Como $ X_1 $ e $ X_2 $ são independentes, a probabilidade conjunta $ P(X_1 = k, X_2 = z - k) $ é igual ao produto $ P(X_1 = k) \times P(X_2 = z - k) $. Então, podemos escrever:
Passo 5
A probabilidade condicional $ P(X_1 = k \mid Z = z) $ é dada por:
Já sabemos que $ P(Z = z) = \binom{n + m}{z} p^z (1 - p)^{n + m - z} $.
Passo 6
Substituindo as expressões, temos:
Isso mostra que, dado $ Z = z $, a distribuição de $ X_1 $ segue uma distribuição hipergeométrica, que conta de quantas maneiras podemos distribuir $ z $ sucessos entre as duas variáveis.
Resposta
A distribuição de $ \boldsymbol{X} = (X_1, X_2) $ dado que $ X_1 + X_2 = z $ é dada por: