Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de probabilidade comum dada pela função:
p(k)=\left\{\begin{array}{cc}c\left(\frac{6}{7}\right)^{k}, & k \in\{0,1,2,3, \ldots\} \\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.com c uma constante. Resolva os itens abaixo.
(0,5) Determine o valor de c.
Passo 1
O enunciado dá a função de probabilidade comum de X\) e \(Y\):
\[p(k)=\begin{cases} c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}, & k\in\{0,1,2,\dots\},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
e pede para determinar a constante c\]. Informações relevantes que temos:
- \(p(k) é uma função de probabilidade discreta, logo deve satisfazer a condição de normalização \sum_{k=0}^{\infty} p(k)=1.
- A sequência geométrica \left(\dfrac{6}{7}\right)^k tem razão \dfrac{6}{7} com \left|\dfrac{6}{7}\right|<1, portanto a soma infinita converge.]
Passo 2
Escrevemos a condição de normalização usando a soma sobre todos os valores possíveis de k: