Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função de probabilidade comum dada pela função:
p(k)=\left\{\begin{array}{cc}c\left(\frac{6}{7}\right)^{k}, & k \in\{0,1,2,3, \ldots\} \\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.ácom c uma constante. Resolva os itens abaixo.
(0,5) Determine o valor de c.

Passo 1

O enunciado dá a função de probabilidade comum de X\) e \(Y\): \[p(k)=\begin{cases} c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}, & k\in\{0,1,2,\dots\},\\[6pt] 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
e pede para determinar a constante c\]. Informações relevantes que temos: - \(p(k) é uma função de probabilidade discreta, logo deve satisfazer a condição de normalização \sum_{k=0}^{\infty} p(k)=1.
- A sequência geométrica \left(\dfrac{6}{7}\right)^k tem razão \dfrac{6}{7} com \left|\dfrac{6}{7}\right|<1, portanto a soma infinita converge.]

Passo 2

Escrevemos a condição de normalização usando a soma sobre todos os valores possíveis de k:
\sum_{k=0}^{\infty} p(k)=1 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=0}^{\infty} c\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}=1.
Como c é constante, pode sair da soma:
c\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}=1.

Passo 3

Recordando a fórmula da soma de uma série geométrica: para |r|<1 vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
(Justificativa curta: se S=\sum_{k=0}^\infty r^k então rS=\sum_{k=1}^\infty r^k; subtraindo S-rS=1 S(1-r)=1, logo S=1/(1-r).)
Aqui temos r=\dfrac{6}{7}, portanto
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{k}=\frac{1}{1-\dfrac{6}{7}}=\frac{1}{\dfrac{1}{7}}=7.

Passo 4

Substituindo na equação de normalização:
c\cdot 7 = 1 \quad\Longrightarrow\quad c=\frac{1}{7}.

Resposta

\displaystyle c=\frac{1}{7}

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