O tempo de execução de manutenção de um maquinário segue a fpd que segue.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{10} x+\frac{1}{10}, & 0<x<2 \\\\ -\frac{3}{40} x+\frac{9}{20}, & 2<x \leqslant 6 \\\\ 0, & x<0 \text { ou } x>6\end{cases}
a) Encontre o tempo médio esperado de X. Esboce o gráfico de f(x) e marque o valor esperado no eixo X.
b)Para uma manutenção feita até o tempo X=2 será cobrado um valor de 50 reais, enquanto que para as demais será dado um desconto e valerá 40 reais. Qual o Lucro esperado por manutenção considerando um custo de 20 reais por manutenção?

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória contínua X\) (tempo de manutenção) com densidade de probabilidade \[f(x)= \begin{cases} \tfrac{1}{10}x+\tfrac{1}{10},&0<x<2,\\[6pt] -\tfrac{3}{40}x+\tfrac{9}{20},&2<x\le6,\\[3pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos de dois resultados:
  1. O valor esperado \mathbb{E}[X]\]. 2. O lucro esperado por manutenção, sabendo que a receita é R\$50 se \(X\le2 e R$40 se X>2, e o custo é R$20 fixo.]

Passo 2

Para calcular \mathbb{E}[X] usamos
\mathbb{E}[X] =\int_{0}^{2}x\Bigl(\tfrac{1}{10}x+\tfrac{1}{10}\Bigr)\,dx +\int_{2}^{6}x\Bigl(-\tfrac{3}{40}x+\tfrac{9}{20}\Bigr)\,dx.
Computando cada parte:
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{1}{10}x^2+\tfrac{1}{10}x\Bigr)dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{30}+\tfrac{x^2}{20}\Bigr]_{0}^{2} =\tfrac{8}{30}+\tfrac{4}{20} =\tfrac{4}{15}+\tfrac{1}{5} =\tfrac{7}{15},
\int_{2}^{6}\Bigl(-\tfrac{3}{40}x^2+\tfrac{9}{20}x\Bigr)dx =\Bigl[-\tfrac{x^3}{40}+\tfrac{9x^2}{40}\Bigr]_{2}^{6} =\bigl(\tfrac{108}{40}\bigr)-\bigl(\tfrac{28}{40}\bigr) =2.
Logo
\mathbb{E}[X] =\tfrac{7}{15}+2 =\tfrac{37}{15}\approx2{,}467.

Passo 3

O gráfico de f(x) em [0,6] é composto por duas retas:
  • de x=0 \bigl(f(0^+)=\tfrac{1}{10}\bigr) até x=2 \bigl(f(2)=\tfrac{3}{10}\bigr),
  • de x=2 \bigl(f(2)=\tfrac{3}{10}\bigr) até x=6 \bigl(f(6)=0\bigr).
    No eixo X marca-se o ponto x=\tfrac{37}{15} como o valor esperado.

Passo 4

Definimos a receita R por manutenção como
R= \begin{cases} 50,&X\le2,\\\\ 40,&X>2. \end{cases}
Calculamos
P(X\le2) =\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{1}{10}x+\tfrac{1}{10}\Bigr)dx =0{,}4, \quad P(X>2)=0{,}6.
Logo a receita esperada é
\mathbb{E}[R] =50\cdot0{,}4+40\cdot0{,}6 =20+24 =44.
Como o custo fixo é R$20, o lucro esperado é
\mathbb{E}[\text{Lucro}] =\mathbb{E}[R]-20 =44-20 =24.

Resposta

a) \mathbb{E}[X]=\tfrac{37}{15}\approx2{,}467. O gráfico de f(x) é uma reta crescente de (0,\tfrac{1}{10}) a (2,\tfrac{3}{10}) e uma reta decrescente de (2,\tfrac{3}{10}) a (6,0), com x=\tfrac{37}{15} marcado no eixo.
b) O lucro esperado por manutenção é R$ 24.

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