Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais que X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) e Y \sim \operatorname{Exp}(\mu). Ache a densidade conjunta de S=X+Y e T=X-Y. S e T sao independentes?
Passo 1
O enunciado dá que X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais:
X \sim \operatorname{Exp}(\lambda),\quad Y \sim \operatorname{Exp}(\mu),
Pede-se (1) a densidade conjunta de S=X+Y e T=X-Y e (2) verificar se S e T são independentes.
Informações relevantes listadas:
S=X+Y,\qquad T=X-Y,
X,Y independentes com os parâmetros \lambda>0 e \mu>0. A resolução começa transformando (X,Y) em (S,T) e usando a fórmula de transformação de variáveis.
Passo 2
Encontrar a inversa da transformação (S,T)\mapsto(X,Y). Resolvendo para X e Y em função de S e T:
X=\frac{S+T}{2},\qquad Y=\frac{S-T}{2}.
Explicando: somando S=X+Y com T=X-Y obtemos 2X, daí X=(S+T)/2; subtraindo obtemos 2Y, daí Y=(S-T)/2. Essa inversa será usada para avaliar a densidade conjunta de (X,Y) no ponto correspondente.
Passo 3
Calcular o jacobiano da transformação (s,t)\mapsto(x,y). A matriz jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(s,t)}= \begin{pmatrix} \partial x/\partial s & \partial x/\partial t\\[4pt] \partial y/\partial s & \partial y/\partial t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
O jacobiano absoluto que entra na fórmula de transformação é \big|\det\big|=\frac{1}{2}. Explicação rápida: o fator \tfrac12 ajusta a “escala” quando trocamos de variáveis.]
Passo 4
Determinar o suporte (domínio) de (S,T). Como X>0 e Y>0, usando X=(S+T)/2>0 e Y=(S-T)/2>0 obtemos
S>0\quad\text{e}\quad -S<T<S.
Agora aplicamos a fórmula da transformação de densidades:
No caso \lambda=\mu toma-se o limite (ou faz a convolução diretamente) e obtém-se a forma Erlang de ordem 2:
\boxed{\,f_S(s)=\lambda^2 s e^{-\lambda s},\quad s>0,\\ \text{se }\lambda=\mu.\,}
Comentário didático: isso é a convolução de duas exponenciais com taxas diferentes; a expressão acima é a forma padrão do somatório de duas exponenciais independentes.
Passo 6
Calcular a densidade marginal de T\) integrando em \(s\). Para um valor fixo \(t\) o suporte em \(s\) é \(s\in(|t|,\infty)\). Então
\[f_T(t)=\int_{|t|}^{\infty}\frac{1}{2}\lambda\mu\,e^{-\frac{\lambda+\mu}{2}s}e^{-\frac{\lambda-\mu}{2}t}\,ds.
No caso (\lambda=\mu] isso reduz a \boxed{\,f_T(t)=\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|t|},\quad t\in\mathbb{R},\\ \text{se }\lambda=\mu,\,}
que é a distribuição Laplace (duas caudas exponenciais iguais).]
Passo 7
Verificar independência: S e T seriam independentes se, para todo s,t no suporte, tivéssemos
f_{S,T}(s,t)=f_S(s)\,f_T(t).
Mas note que o suporte da densidade conjunta exige -s<t<s, ou seja o conjunto de valores possíveis de t depende de s. Essa dependência do suporte já é um forte indício de não independência (variáveis independentes têm suporte que é produto cartesiano de suportes marginais). Além disso, substituindo as expressões explícitas, por exemplo para \lambda\neq\mu,
não se decompõe como f_S(s)f_T(t) porque f_S(s) já contém termos que dependem de exponenciais tanto em \lambda s como em \mu s e a integração que determinou f_S introduziu uma combinação que impede fatoração. Para ser totalmente explícito, mesmo no caso \lambda=\mu temos
f_S(s)=\lambda^2 s e^{-\lambda s},\qquad f_T(t)=\frac{\lambda}{2}e^{-\lambda|t|},
e claramente \frac{1}{2}\lambda^2 e^{-\lambda s}\neq \big(\lambda^2 s e^{-\lambda s}\big)\big(\tfrac{\lambda}{2}e^{-\lambda|t|}\big) (por exemplo a dependência em s difere em um fator s, e o indicador -s<t<s impede fatoração). Logo S e T não são independentes.