Sejam x e y variáveis reais entre as quais precisamos determinar uma relação na forma de uma função afim y=f(x)=a x+b. O objetivo, nesta questão, é apresentar um método para determinarmos os parâmetros a e b de modo que a função afim seja a de melhor fitting a um conjunto de m dados com valores das variáveis, ou seja, buscamos a e b de forma que o gráfico da função seja o que mais se aproxima, na direção vertical, dos m pontos
(x1, y1),(x2, y2), ldots,(xm, ym)
Sendo assim, definimos a transformação linear A: R^2 R^m dada em termos de matrizes por
[cc x1 & 1 x2 & 1 vdots & vdots xm & 1 ][l a b ]=[c y1 y2 vdots ym ]
Assim, buscamos a0 e b0 de modo que
|w-A(a0, b0)|^2=min (a, b)|w-A(a, b)|^2,
onde
w=[c y1 y2 vdots ym ]
Logo,
(a0, b0)=A^+ w
Determine os valores de a0 e b0 em termos dos dados (xi, yi).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os coeficientes da reta
que melhor aproxima, em sentido de mínimos quadrados verticais, os pontos
, . Modelamos isso como o problema
onde
O método dos mínimos quadrados leva às chamadas equações normais.

Passo 2

As equações normais surgem da condição de ponto crítico do funcional de custo, isto é
Calculamos
Logo as equações normais são

Passo 3

Denote
Sx=sumi=1^m xi, Sy=sumi=1^m yi, Sxx=sumi=1^m xi^2, Sxy=sumi=1^m xi yi
O sistema fica
Sxx,a + Sx,b = Sxy, Sx,a + m,b = Sy
O determinante é
De<a = Sxx&Sx Sx& m = m,Sxx - (Sx)^2
Resolvendo por Cramer, obtemos
a0 =1De<a Sxy&Sx Sy& m =m,Sxy-Sx,Sym,Sxx-(Sx)^2,
b0 =1De<a Sxx&Sxy Sx &Sy =Sxx,Sy - Sx,Sxym,Sxx-(Sx)^2

Resposta

a0 =msumi=1^m xi yi ;-;l(sumi=1^m xir)l(sumi=1^m yir) ,msumi=1^m xi^2 ;-;l(sumi=1^m xir)^2,,
b0 =sumi=1^m xi^2 ;sumi=1^m yi ;-;l(sumi=1^m xir)l(sumi=1^m xi yir) ,msumi=1^m xi^2 ;-;l(sumi=1^m xir)^2,

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