Sejam e variáveis reais entre as quais precisamos determinar uma relação na forma de uma função afim . O objetivo, nesta questão, é apresentar um método para determinarmos os parâmetros e de modo que a função afim seja a de melhor fitting a um conjunto de dados com valores das variáveis, ou seja, buscamos e de forma que o gráfico da função seja o que mais se aproxima, na direção vertical, dos pontos
Sendo assim, definimos a transformação linear dada em termos de matrizes por
Assim, buscamos a0 e b0 de modo que
|w-A(a0, b0)|^2=min (a, b)|w-A(a, b)|^2,
onde
w=[c y1 y2 vdots ym ]
Logo,
(a0, b0)=A^+ w
Determine os valores de a0 e b0 em termos dos dados (xi, yi).
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os coeficientes da reta
que melhor aproxima, em sentido de mínimos quadrados verticais, os pontos , . Modelamos isso como o problema
onde
O método dos mínimos quadrados leva às chamadas equações normais.
Passo 2
As equações normais surgem da condição de ponto crítico do funcional de custo, isto é
Calculamos
Logo as equações normais são
Passo 3
Denote
Sx=sumi=1^m xi, Sy=sumi=1^m yi, Sxx=sumi=1^m xi^2, Sxy=sumi=1^m xi yi