Suponha que X1 e X2 tem função densidade conjunta dada por:
f(x1, x2)=x1+x2, para 0
Encontre a função densidade de Y=X1 X2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, com uma função densidade conjunta dada por:
X1
A gente precisa encontrar a função densidade de uma nova variável $ Y $, definida como $ Y = X_1 \times X_2 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de transformação de variáveis aleatórias e integração sobre regiões específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade. A função densidade conjunta $ f(x_1, x_2) $ nos dá a probabilidade de $ X_1 $ e $ X_2 $ assumirem valores específicos dentro do intervalo (0,1). Como queremos a densidade de $ Y = X_1 X_2 $, precisamos transformar essa função densidade conjunta para encontrar $ f_Y(y) $.

Passo 3

Para encontrar $ f_Y(y) $, vamos calcular a probabilidade de $ Y $ ser menor ou igual a um valor $ y $, ou seja, $ P(Y \leq y) $. Isso é equivalente a:
fY(y)
Como $ X_1 $ e $ X_2 $ estão entre 0 e 1, precisamos integrar a função densidade conjunta $ f(x_1, x_2) $ sobre a região onde $ X_1 X_2 \leq y $.

Passo 4

Vamos expressar isso matematicamente. A função densidade de $ Y $ é a derivada da função de distribuição acumulada de $ Y $:
Y
Então, primeiro, encontramos $ P(Y \leq y) $ integrando $ f(x_1, x_2) $ na região onde $ x_1 x_2 \leq y $:
Y
Aqui, $ \frac{y}{x_1} $ vem de resolver $ x_2 \leq \frac{y}{x_1} $.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a $ x_2 $:
x2
Dependendo de $ x_1 $ e $ y $, o limite superior muda. Precisamos considerar dois casos:
  1. Quando $ x_1 \geq y $: Então $ \frac{y}{x_1} \leq 1 $, e integramos até $ \frac{y}{x_1} $.
  2. Quando $ x_1 < y $: Aqui, $ \frac{y}{x_1} > 1 $, então integramos até 1.
Vamos calcular cada caso separadamente.
Caso 1: $ x_1 \geq y $
integral0^min(yx1, 1) (x1 + x2) , dx2 = x1 x2 + x2^22 |0^min(yx1, 1)
Caso 2: $ x_1 < y $
x1
Agora, integramos esses resultados em relação a $ x_1 $ de 0 a 1.

Passo 6

Finalmente, derivamos $ P(Y \leq y) $ em relação a $ y $ para encontrar $ f_Y(y) $.
Após calcular as integrais e derivadas apropriadas, chegamos à função densidade de $ Y $:
P(Y <= y)

Resposta

A função densidade de $ Y = X_{1} X_{2} $ é:
Y = X1 X2

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