Suponha que
e
tem função densidade conjunta dada por:
Encontre a função densidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, com uma função densidade conjunta dada por:
A gente precisa encontrar a função densidade de uma nova variável $ Y $, definida como $ Y = X_1 \times X_2 $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de transformação de variáveis aleatórias e integração sobre regiões específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade. A função densidade conjunta $ f(x_1, x_2) $ nos dá a probabilidade de $ X_1 $ e $ X_2 $ assumirem valores específicos dentro do intervalo (0,1). Como queremos a densidade de $ Y = X_1 X_2 $, precisamos transformar essa função densidade conjunta para encontrar $ f_Y(y) $.
Passo 3
Para encontrar $ f_Y(y) $, vamos calcular a probabilidade de $ Y $ ser menor ou igual a um valor $ y $, ou seja, $ P(Y \leq y) $. Isso é equivalente a:
Como $ X_1 $ e $ X_2 $ estão entre 0 e 1, precisamos integrar a função densidade conjunta $ f(x_1, x_2) $ sobre a região onde $ X_1 X_2 \leq y $.
Passo 4
Vamos expressar isso matematicamente. A função densidade de $ Y $ é a derivada da função de distribuição acumulada de $ Y $:
Então, primeiro, encontramos $ P(Y \leq y) $ integrando $ f(x_1, x_2) $ na região onde $ x_1 x_2 \leq y $:
Aqui, $ \frac{y}{x_1} $ vem de resolver $ x_2 \leq \frac{y}{x_1} $.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a $ x_2 $:
Dependendo de $ x_1 $ e $ y $, o limite superior muda. Precisamos considerar dois casos:
- Quando $ x_1 \geq y $: Então $ \frac{y}{x_1} \leq 1 $, e integramos até $ \frac{y}{x_1} $.
- Quando $ x_1 < y $: Aqui, $ \frac{y}{x_1} > 1 $, então integramos até 1.
Vamos calcular cada caso separadamente.
Caso 1: $ x_1 \geq y $
Caso 2: $ x_1 < y $
Agora, integramos esses resultados em relação a $ x_1 $ de 0 a 1.
Passo 6
Finalmente, derivamos $ P(Y \leq y) $ em relação a $ y $ para encontrar $ f_Y(y) $.
Após calcular as integrais e derivadas apropriadas, chegamos à função densidade de $ Y $:
Resposta
A função densidade de $ Y = X_{1} X_{2} $ é: