Suponha que
e
são variáveis aleatórias i.i.d. e que a função densidade de cada uma delas é:
Encontre a função densidade de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis aleatórias, $ X_1 $ e $ X_2 $, que são independentes e têm a mesma distribuição, com a função densidade $ f(x) = e^{-x} $ para $ x > 0 $. Queremos encontrar a função densidade da variável $ Y = X_1 - X_2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade sobre variáveis independentes e suas combinações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ X_1 $ e $ X_2 $ são variáveis exponenciais com parâmetro $ \lambda = 1 $, já que a função densidade é $ f(x) = e^{-x} $. A diferença de duas variáveis exponenciais independentes pode resultar em uma distribuição específica, que chamaremos de distribuição de $ Y = X_1 - X_2 $.
Passo 3
Para encontrar a função densidade de $ Y $, precisamos considerar todas as possíveis diferenças entre $ X_1 $ e $ X_2 $. Como ambas são positivas, $ Y $ pode ser tanto positivo quanto negativo. Vamos dividir o problema em dois casos: quando $ Y \geq 0 $ e quando $ Y < 0 $.
Passo 4
Caso 1: $ Y \geq 0 $
Nesse caso, $ X_1 \geq X_2 $. A densidade de $ Y $ pode ser calculada pela convolução das funções densidade de $ X_1 $ e $ X_2 $:
Substituindo as densidades:
Mas como $ y $ tende ao infinito, simplificamos para:
Passo 5
Caso 2: $ Y < 0 $
Aqui, $ X_1 < X_2 $, então podemos escrever $ Y = -(X_2 - X_1) $. A densidade de $ Y $ será similar ao caso anterior, mas refletida:
Resposta
Portanto, a função densidade de $ Y = X_1 - X_2 $ é: