Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05):
- Encontre a solução dos seguintes problemas:
a)
;
a)
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor unidimensional
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
e valor inicial
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão na base de autovetores do operador espacial.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
. Substituindo em
dá
A parte espacial satisfaz
cuja solução não-trivial ocorre para
A parte temporal é
Logo a solução geral é
Passo 3
Para ajustar ao valor inicial
, escrevemos
Usando a ortogonalidade
obtemos
obtemos
Passo 4
Defina
. Precisamos de
Por partes chega-se a
Então
Passo 5
Observando que
e
, segue
Para
par isso vale zero; para
ímpar
, logo
Passo 6
Só os termos de índice ímpar sobrevivem. Escrevendo
,
, a solução final é