Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05):
  • Encontre a solução dos seguintes problemas:
    e) u_{t}=u_{x x} \operatorname{em}(0, \pi) \times(0, \infty);
    u(x, 0)=x^{2}-\pi x, \quad 0 \leq x \leq \pi ;
    u(0, t)=u(\pi, t)=0, \quad t \in[0, \infty).

Passo 1

O problema é a equação do calor
u_{t} = u_{xx}
em (0,\pi)\times(0,\infty) com condição inicial
u(x,0) = f(x) = x^2 - \pi x
e condições de contorno de Dirichlet homogêneas
u(0,t)=u(\pi,t)=0.
O método será separar variáveis e expandir f(x) em série de senos.

Passo 2

Pelas condições de contorno, escolhemos autofunções
\phi_{n}(x)=\sin(n x),\quad n=1,2,\dots
com autovalores
\lambda_{n}=n^{2}.
A solução geral por soma de modos é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,e^{-n^{2}t}\,\sin(n x).

Passo 3

Os coeficientes A_{n} vêm da projeção de f(x) em \sin(n x):
A_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(n x)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(x^{2}-\pi x\bigr)\sin(n x)\,dx.

Passo 4

Calcule
I_{n}=\int_{0}^{\pi}(x^{2}-\pi x)\sin(n x)\,dx =\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin(n x)\,dx \;-\;\pi\int_{0}^{\pi}x\sin(n x)\,dx.
Por integração por partes obtém-se
I_{n}=\frac{2}{n^{3}}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Logo
A_{n}=\frac{2}{\pi}\,I_{n} =\frac{4}{\pi\,n^{3}}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Note que para n par (-1)^n-1=0, e para n ímpar (-1)^n-1=-2. Portanto
A_{n}=\begin{cases} -\dfrac{8}{\pi\,n^{3}},&n\text{ ímpar},\\[1em] 0,&n\text{ par}. \end{cases}í]

Passo 5

Substituindo em
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}e^{-n^{2}t}\sin(n x),
só aparecem termos com n=2k-1. Assim
u(x,t) =-\frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k-1)^{3}} \,e^{-(2k-1)^{2}t}\,\sin\bigl((2k-1)x\bigr).

Resposta

u(x,t) =-\frac{8}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{e^{-(2k-1)^{2}t}}{(2k-1)^{3}} \,\sin\bigl((2k-1)x\bigr).

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