Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05):
- Encontre a solução dos seguintes problemas:
c)
;
.
c)
Passo 1
O problema é a equação do calor
em
, com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
e condição inicial
Vamos resolver por separação de variáveis, expandindo a condição inicial em autovalores do operador
.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
Substituindo em
obtemos
A separação leva a dois problemas:
e
com
.
Passo 3
O problema em
admite autovalores
e autovetores
Para cada
, a parte temporal é
Assim, as soluções separáveis são
Passo 4
Escrevemos a condição inicial como série em
:
Pelo ortogonalidade,
Mas só
dá termo não nulo. Calculamos
e para
,
.
Passo 5
Somando todos os modos, a solução geral é