Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05):
  • Encontre a solução dos seguintes problemas:
    c) u_{t}=8 u_{x x} \operatorname{em}(0,1) \times(0, \infty);
    u(x, 0)=4 \sin (\pi x) \quad 0 \leq x \leq 1 ;
    u(0, t)=u(1, t)=0, \quad t \in[0, \infty).

Passo 1

O problema é a equação do calor
u_{t} = 8\,u_{xx}
em (0,1)\times(0,\infty), com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=4\sin(\pi x).
Vamos resolver por separação de variáveis, expandindo a condição inicial em autovalores do operador u_{xx}.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{t}=8\,u_{xx} obtemos
X(x)\,T'(t)=8\,X''(x)\,T(t) \quad\Longrightarrow\quad \frac{T'(t)}{8\,T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
A separação leva a dois problemas:
\displaystyle T'(t)+8\lambda\,T(t)=0 e
X''(x)+\lambda\,X(x)=0,
com X(0)=X(1)=0.

Passo 3

O problema em X admite autovalores
\lambda_n=(n\pi)^2,\quad n=1,2,3,\dots
e autovetores
X_n(x)=\sin(n\pi x).
Para cada \lambda_n, a parte temporal é
T_n(t)=\exp\bigl(-8\lambda_n\,t\bigr) =\exp\bigl(-8n^2\pi^2\,t\bigr).
Assim, as soluções separáveis são
u_n(x,t)=\sin(n\pi x)\,e^{-8n^2\pi^2 t}.

Passo 4

Escrevemos a condição inicial como série em \{\sin(n\pi x)\}:
u(x,0)=4\sin(\pi x) =\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(n\pi x).
Pelo ortogonalidade,
a_n=2\int_{0}^{1}4\sin(\pi x)\,\sin(n\pi x)\,dx.
Mas só n=1 dá termo não nulo. Calculamos
a_1=2\int_{0}^{1}4\sin^2(\pi x)\,dx =8\cdot\frac12=4,
e para n>1, a_n=0.

Passo 5

Somando todos os modos, a solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,\sin(n\pi x)\,e^{-8n^2\pi^2 t} =4\,\sin(\pi x)\,e^{-8\pi^2 t}.

Resposta

\boxed{u(x,t)=4\,e^{-8\pi^2 t}\,\sin(\pi x).}

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