∫ sen 2 x · cos 4 x dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função produto \sin 2x\cdot\cos 4x, ou seja encontrar
\int \sin 2x\cdot\cos 4x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas \sin 2x e \cos 4x. O objetivo é fornecer a primitiva (mais constante de integração).

Passo 2

Escolha do método (sem cálculos ainda): quando vemos um produto do tipo \sin A\cdot\cos B costuma ser mais simples usar uma identidade trigonométrica que transforma produto em soma (fórmulas “produto-para-soma”). Isso transforma a integral num somatório de integrais de senos ou cossenos simples, fáceis de integrar com substituição. Vou usar esse caminho porque é direto e rápido na prova (outras maneiras existem, como exponenciais complexas, mas são mais pesadas para uma prova rápida).

Passo 3

Vamos lembrar e demonstrar a identidade produto-para-soma que usaremos. Começamos com as fórmulas de soma e diferença:
\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B
\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.
Somando as duas equações obtemos
\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B.
Isolando o produto \sin A\cos B temos a identidade útil:
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\sin(A+B)+\sin(A-B)\big).
Essa identidade vale para quaisquer ângulos A e B.

Passo 4

Aplicamos a identidade com A=2x e B=4x. Substituindo:
\sin 2x\cos 4x=\tfrac{1}{2}\big(\sin(2x+4x)+\sin(2x-4x)\big).
Calculando as somas e diferenças dos ângulos:
\sin 2x\cos 4x=\tfrac{1}{2}\big(\sin 6x+\sin(-2x)\big).
Usando \sin(-2x)=-\sin 2x, obtemos
\sin 2x\cos 4x=\tfrac{1}{2}\big(\sin 6x-\sin 2x\big).

Passo 5

Substituímos essa expressão na integral original:
\int \sin 2x\cos 4x \, dx = \int \tfrac{1}{2}\big(\sin 6x-\sin 2x\big)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \sin 6x \,dx \;-\; \tfrac{1}{2}\int \sin 2x \,dx.

Passo 6

Recordando (e justificando) a primitiva de \sin(kx): para uma constante k\neq 0,
\int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C.
Justificação rápida: faça a substituição u=kx então du=k\,dx, logo \int \sin(kx)\,dx=\int \sin u\frac{du}{k}=-\frac{1}{k}\cos u + C = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C.

Passo 7

Agora aplicamos essa fórmula aos dois termos:
\int \sin 6x\,dx = -\frac{1}{6}\cos 6x + C_1,
\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C_2.
Voltando à combinação com os fatores \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\int \sin 6x\,dx - \tfrac{1}{2}\int \sin 2x\,dx = \tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{6}\cos 6x\right) - \tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) + C.
Agora calculamos os coeficientes:
\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{12},\qquad -\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = +\frac{1}{4}.
Portanto a primitiva fica
-\frac{1}{12}\cos 6x + \frac{1}{4}\cos 2x + C.

Passo 8

Cheque rápido (derivação) para ter certeza: derivando \displaystyle -\frac{1}{12}\cos 6x + \frac{1}{4}\cos 2x obtemos
-\frac{1}{12}\cdot(-6)\sin 6x + \frac{1}{4}\cdot(-2)\sin 2x = \frac{6}{12}\sin 6x - \frac{2}{4}\sin 2x = \tfrac{1}{2}\sin 6x - \tfrac{1}{2}\sin 2x,
que é exatamente \tfrac{1}{2}(\sin 6x-\sin 2x), ou seja igual a \sin 2x\cos 4x pela identidade usada. Tudo confere.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\cos 2x-\frac{1}{12}\cos 6x + C

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