∫ sen 2 x · cos 4 x dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida da função produto
, ou seja encontrar
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas
e
. O objetivo é fornecer a primitiva (mais constante de integração).
Passo 2
Escolha do método (sem cálculos ainda): quando vemos um produto do tipo
costuma ser mais simples usar uma identidade trigonométrica que transforma produto em soma (fórmulas “produto-para-soma”). Isso transforma a integral num somatório de integrais de senos ou cossenos simples, fáceis de integrar com substituição. Vou usar esse caminho porque é direto e rápido na prova (outras maneiras existem, como exponenciais complexas, mas são mais pesadas para uma prova rápida).
Passo 3
Vamos lembrar e demonstrar a identidade produto-para-soma que usaremos. Começamos com as fórmulas de soma e diferença:
Somando as duas equações obtemos
Isolando o produto
temos a identidade útil:
Essa identidade vale para quaisquer ângulos
e
.
Passo 4
Aplicamos a identidade com
e
. Substituindo:
Calculando as somas e diferenças dos ângulos:
Usando
, obtemos
Passo 5
Substituímos essa expressão na integral original:
Passo 6
Recordando (e justificando) a primitiva de
: para uma constante
,
Justificação rápida: faça a substituição
então
, logo
.
Passo 7
Agora aplicamos essa fórmula aos dois termos:
Voltando à combinação com os fatores
:
Agora calculamos os coeficientes:
Portanto a primitiva fica
Passo 8
Cheque rápido (derivação) para ter certeza: derivando
obtemos
que é exatamente
, ou seja igual a
pela identidade usada. Tudo confere.