Sendo =\{1,2,\{3,4\}\}, determine P(A).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = \{\,1,2,\{3,4\}\}
e pede o conjunto das partes P(A). O conteúdo envolvido é a definição de conjunto das partes (power set): P(A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A.

Passo 2

Contamos quantos elementos tem A. Como
A=\{\,1,2,\{3,4\}\}
possui três elementos (o elemento \{3,4\} conta como um único), então
|A|=3.
Pela teoria, o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2^n. Logo
|P(A)|=2^3=8.

Passo 3

Vamos listar sistematicamente os 8 subconjuntos, agrupando por cardinalidade.
Cardinalidade zero (subconjunto vazio): \emptyset.

Passo 4

Cardinalidade um (subconjuntos unitários):
\{1\},\quad \{2\},\quad \{\{3,4\}\}.

Passo 5

Cardinalidade dois (subconjuntos com dois elementos):
\{1,2\},\quad \{1,\{3,4\}\},\quad \{2,\{3,4\}\}.

Passo 6

Cardinalidade três (o próprio conjunto A):
\{1,2,\{3,4\}\}.

Resposta

P(A) = \bigl\{ \emptyset,\, \{1\},\, \{2\},\, \{\{3,4\}\},\, \{1,2\},\, \{1,\{3,4\}\},\, \{2,\{3,4\}\},\, \{1,2,\{3,4\}\} \bigr\}.

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