Sendo a e b dois números inteiros, responda:
Em que caso ocorre M(a) subset M(b)?

Passo 1

O enunciado considera dois inteiros a e b e as seguintes definições de conjuntos de múltiplos:
M(a)=,k,amid kinZ e M(b)=,m,bmid minZ
Queremos determinar para quais a,b vale
M(a)subset M(b)

Passo 2

Para ter M(a)subset M(b), cada elemento de M(a) deve ser também elemento de M(b). Em outras palavras, para todo kinZ existe um minZ tal que
k,a ;=; m,b
Em particular, tomando k=1, obtemos
a = m,b,
o que mostra imediatamente que b divide a.

Passo 3

Agora suponha que b divide a. Então existe um inteiro q tal que
a = q,b
Para qualquer kinZ,
k,a = k,(q,b) = (k,q),b
é um múltiplo de b. Logo todo elemento de M(a) está em M(b), ou seja, M(a)subset M(b).

Passo 4

Concluímos portanto que
M(a)subset M(b) Long<=ftrightarrow bmid a

Passo 5

Se quisermos que a inclusão seja estrita (ou seja, M(a)neq M(b)), basta ainda pedir que a não seja igual a pm b.

Resposta

M(a)subset M(b) ocorre se, e somente se, bmid a.
Para que seja inclusão estrita, exige-se também aneq pm b.

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