Sendo a e b dois números inteiros, responda:
Em que caso ocorre M(a) cap M(b)=M(a b)?

Passo 1

O enunciado define, para cada inteiro , o conjunto
ou seja, todos os múltiplos de . O objetivo é achar quando
Para resolver isso, vamos usar o conceito de mínimo múltiplo comum () e a relação clássica

Passo 2

Primeiro vemos que
é justamente o conjunto dos múltiplos comuns a e . Por definição de , esse conjunto é

Passo 3

Queremos que
Ml(lcm(a,b)r)=M(ab)
Dois inteiros m e n geram o mesmo conjunto de múltiplos se, e somente se, diferem por unidade em Z, isto é, se lvert mrvert=lvert nrvert. Portanto precisamos
lcm(a,b)=pm,ab
Mas notemos que M(ab)=M(-ab), então basta exigir
lcm(a,b)=|ab|

Passo 4

Usamos a relação entre e :
Para ter é necessário e suficiente que .

Passo 5

Logo concluímos que
M(a)cap M(b)=M(ab)
se, e somente se,
gcd(a,b)=1,
isto é, quando a e b são coprimos.

Resposta

gcd(a,b)=1

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