Sendo z=e^x i e w=e^3 x i, calcule:
z^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: dado que z = e^x i e w = e^3x i , precisamos calcular z^3 . Estamos trabalhando com números complexos e exponenciais aqui. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das potências e a fórmula de Euler, que conecta números complexos com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma potência de uma exponencial, como z^3 , a gente pode multiplicar o expoente pela potência. Ou seja,
z^3 = (e^x i)^3 = e^3x i

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com o valor de w que é dado como e^3x i . Vemos que:
z^3 = e^3x i = w

Passo 4

Mas para entender melhor, vamos aplicar a fórmula de Euler, que nos diz que:
e^theta i = cos(theta) + i sin(theta)
Aplicando isso em z^3 :
z^3 = e^3x i = cos(3x) + i sin(3x)

Resposta

Portanto, z^3 = cos(3x) + i sin(3x) .

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