Sendo A=[ll1 & 1 0 & 1], calcule A^2, A^3, A^4 e A^n(n in N e n >= 1).

Solução

& A^2=A A=[ll 1 & 1 0 & 1 ][ll 1 & 1 0 & 1 ]=[ll 1 & 2 0 & 1 ] & A^3=A^2 A=[ll 1 & 2 0 & 1 ][ll 1 & 1 0 & 1 ]=[ll 1 & 3 0 & 1 ] & A^4=A^3 A=[ll 1 & 3 0 & 1 ][ll 1 & 1 0 & 1 ]=[ll 1 & 4 0 & 1 ]
Observamos que em cada multiplicação por A os elementos a11, a21 e a22 não se alteram e o elemento a12 sofre acréscimo de 1. Provaríamos por indução finita sobre n que:
A^n=[ll 1 & n 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede as potências da matriz
A = 1 & 1 0 & 1
isto é, calcular A^2, A^3, A^4 e depois um A^n genérico para ninN, n>=1. Vamos usar multiplicação de matrizes e depois prova por indução para o caso geral.

Passo 2

Para A^2 multiplicamos A por si mesma. Lembrando que em produto de matrizes o elemento (i,j) é a soma dos produtos da linha i pela coluna j, temos
A^2 = A,A = 1 & 1 0 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1cdot1 + 1cdot0 & 1cdot1 + 1cdot1 0cdot1 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot1 = 1 & 2 0 & 1

Passo 3

Usando o resultado anterior, calculamos
A^3 = A^2 ,A = 1 & 2 0 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1 & 3 0 & 1,
e em seguida
A^4 = A^3 ,A = 1 & 3 0 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1 & 4 0 & 1
Já fica claro o padrão: o único elemento que muda é o (1,2), que soma sempre 1 a cada multiplicação.

Passo 4

Para o caso geral, fazemos indução em n.
Base ( n=1):
A^1 = A = 1 & 1 0 & 1,
logo a fórmula
A^n = 1 & n 0 & 1
vale para n=1.
Passo indutivo: suponha que
A^k = 1 & k 0 & 1
para algum k>=1. Então
A^k+1 = A^k,A = 1 & k 0 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1 & k+1 0 & 1
Assim a fórmula vale para k+1, completando a indução.

Resposta

A^2 = 1 & 2 0 & 1, A^3 = 1 & 3 0 & 1, A^4 = 1 & 4 0 & 1, A^n = 1 & n 0 & 1

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