Sendo V=P2 e dado um conjunto de elementos de V, 1+x-x^2 ; 1+x+x^2 ; 1-2 x^2.
b) Determine W=[v1 ; v2 ; v3].

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial (polinômios de grau ) e os vetores
Queremos determinar o subespaço

Passo 2

Representamos cada vi pelas coordenadas em relação à base padrão 1,x,x^2:
v1rightarrow (1,1,-1), v2rightarrow (1,1,1), v3rightarrow (1,0,-2)
Formamos a matriz A cujas colunas são esses vetores:
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 -1 & 1 & -2

Passo 3

Para verificar se v1,v2,v3 são independentes, calculamos det(A). Usando expansão por cofatores na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!1&01&-2 -1cdotdet!1&0-1&-2 +1cdotdet!1&1-1&1
Calculando cada menor,
det!1&01&-2 = 1cdot(-2)-0cdot1 = -2,
det!1&0-1&-2 = 1cdot(-2)-0cdot(-1) = -2,
det!1&1-1&1 = 1cdot1 - 1cdot(-1) = 2
Logo,
det(A) = 1cdot(-2) - 1cdot(-2) + 1cdot2 = -2 + 2 + 2 = 2 neq 0

Passo 4

Como det(A)neq0, a matriz A tem posto 3, ou seja, v1,v2,v3 são linearmente independentes. Em V=P2 temos dim P2=3, então três vetores independentes formam base de P2.

Resposta

W = [,v1,v2,v3,] = P2

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