Sendo V=P2 e dado um conjunto de elementos de V, 1+x-x^2 ; 1+x+x^2 ; 1-2 x^2.
d) Qual a dim(W) ?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = P2, o espaço dos polinômios de grau <=2. Dado o subconjunto
,1+x-x^2,;1+x+x^2,;1-2x^2, queremos achar dim(W), onde W é o subespaço gerado por esses três polinômios. Para isso, vamos verificar quantos deles são linearmente independentes.

Passo 2

Escolhemos a base canônica de P2, 1,x,x^2. Representamos então cada polinômio pelos coeficientes em relação a essa base:
p1=1+x-x^2mapsto (1,,1,,-1), p2=1+x+x^2mapsto (1,,1,,1), p3=1-2x^2mapsto (1,,0,,-2)

Passo 3

Formamos a matriz cujas linhas são esses vetores e aplicamos eliminação de Gauss para calcular o posto:

Passo 4

Na forma escalonada obtivemos três pivôs (colunas 1, 2 e 3), logo o posto da matriz é 3. Isso significa que os três polinômios são linearmente independentes em P2 e, portanto, geram um subespaço de dimensão 3.

Resposta

dim(W)=3

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