Sendo V=R^3 e dado um conjunto de elementos beta=(2,-1,1) ;(3,0,2) ;(-4,2,-2) de V.
d) Qual a dim W ?

Passo 1

O enunciado define V=R^3 e o subconjunto beta=v1,v2,v3 com
v1=(2,-1,1), v2=(3,0,2), v3=(-4,2,-2),
e pede a dimensão de W=span(beta). O conteúdo é dimensão de subespaços via independência linear.

Passo 2

Sabemos que dim W é o número máximo de vetores linearmente independentes em beta. Então basta descobrir quantos dos vi são independentes.

Passo 3

Verificamos primeiro v1 e v2. Para serem dependentes, existiria k tal que v2 = k,v1.
Isso daria o sistema
3 = 2k, 0 = -1cdot k,
da segunda equação k=0, mas na primeira isso falha. Logo v1 e v2 são independentes.

Passo 4

Agora checamos se v3 pertence ao span v1,v2. Buscamos a,b tais que
a,v1 + b,v2 = v3
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
2a + 3b = -4, -a = 2, a + 2b = -2
Da segunda equação vem a=-2. Substituindo em a+2b=-2 b=0, e isso satisfaz 2a+3b=-4. Portanto
v3 = -2,v1
é combinação de v1 e v2.

Passo 5

Concluímos que apenas v1 e v2 são linearmente independentes e v3 depende deles. Logo
dim W = 2

Resposta

dim W = 2

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