Sendo
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral:
. A pergunta é para achar o limite da derivada dessa função quando
se aproxima de
por valores maiores. Vamos usar conceitos de cálculo como derivadas de integrais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se tivermos uma função definida por uma integral, tipo
, a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Isso é conhecido pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Então, para nossa função:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
por valores maiores. Ou seja:
Vamos analisar o que acontece com
quando
se aproxima de
.
Passo 4
Sabemos que
. Então, quando
se aproxima de
, o cosseno de
se aproxima de zero. Mas, pela direita, ou seja, com
um pouquinho maior que
, o cosseno de
é negativo e muito próximo de zero.
Passo 5
Então,
vai se tornar muito grande em valor absoluto, já que o denominador está se aproximando de zero. Além disso, como
é negativo,
também será negativo.
Passo 6
Elevando
ao cubo, temos:
Então, se
está tendendo para menos o infinito,
também tende para menos o infinito, já que um número negativo elevado a uma potência ímpar continua negativo e cresce sem limite.