Sendo w(t)=integral0^t sec ^3(x) d x, encontre lim t pi^+2 w^prime(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral: w(t) = integral0^t sec^3(x) , dx . A pergunta é para achar o limite da derivada dessa função quando t se aproxima de pi2 por valores maiores. Vamos usar conceitos de cálculo como derivadas de integrais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se tivermos uma função definida por uma integral, tipo w(t) = integrala^t f(x) , dx , a derivada de w em relação a t é simplesmente f(t) . Isso é conhecido pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Então, para nossa função:
w'(t) = sec^3(t)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o limite de w'(t) quando t se aproxima de pi2 por valores maiores. Ou seja:
limt pi^+2 sec^3(t)
Vamos analisar o que acontece com sec(t) quando t se aproxima de pi2 .

Passo 4

Sabemos que sec(t) = 1cos(t) . Então, quando t se aproxima de pi2 , o cosseno de t se aproxima de zero. Mas, pela direita, ou seja, com t um pouquinho maior que pi2 , o cosseno de t é negativo e muito próximo de zero.

Passo 5

Então, sec(t) = 1cos(t) vai se tornar muito grande em valor absoluto, já que o denominador está se aproximando de zero. Além disso, como cos(t) é negativo, sec(t) também será negativo.

Passo 6

Elevando sec(t) ao cubo, temos:
sec^3(t) = ( 1cos(t) )^3
Então, se 1cos(t) está tendendo para menos o infinito, ( 1cos(t) )^3 também tende para menos o infinito, já que um número negativo elevado a uma potência ímpar continua negativo e cresce sem limite.

Resposta

limt pi^+2 w'(t) = -infty

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