1. Qual a transformada de Laplace da função f(t)=\frac{2}{3} t^{3}+2 t^{2} e^{-4 t}-5 \cos (5 t) ?
    A) F(s)=\frac{4}{s^{3}}+\frac{4}{(s+4)^{3}}-\frac{25}{s^{2}+25}
    B) F(s)=\frac{4}{s^{4}}+\frac{4}{(s+4)^{3}}-\frac{5 s}{s^{2}+25}
    C) F(s)=\frac{4}{s^{4}}+\frac{4}{(s-4)^{3}}-\frac{5}{s^{2}+25}
    D) F(s)=\frac{4}{s^{3}}+\frac{4}{(s-4)^{3}}-\frac{5 s}{s^{2}+25}
    E) F(s)=\frac{4}{s^{4}}+\frac{4}{(s-4)^{3}}-\frac{5 s}{s^{2}+25}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\frac{2}{3}t^{3} \;+\;2\,t^{2}e^{-4t}\;-\;5\cos(5t).
Vamos usar a linearidade da transformada e as fórmulas padrão:
\displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
– Para o fator e^{-at}, usa-se o deslocamento no domínio de s: \mathcal{L}\{e^{-at}g(t)\}=G(s+a).
\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Calculando \displaystyle \mathcal{L}\bigl\{\tfrac{2}{3}t^{3}\bigr\}:
pela fórmula \mathcal{L}\{t^{3}\}=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}, temos
\mathcal{L}\Bigl\{\tfrac{2}{3}t^{3}\Bigr\} =\tfrac{2}{3}\,\frac{6}{s^{4}} =\frac{4}{s^{4}}.

Passo 3

Calculando \displaystyle \mathcal{L}\{2\,t^{2}e^{-4t}\}:
primeiro \mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Pela propriedade do deslocamento, troca-se s por s+4 e multiplica-se por 2:
\mathcal{L}\{2\,t^{2}e^{-4t}\} =2\;\frac{2}{(s+4)^{3}} =\frac{4}{(s+4)^{3}}.

Passo 4

Calculando \displaystyle \mathcal{L}\{-5\cos(5t)\}:
\mathcal{L}\{\cos(5t)\}=\frac{s}{s^{2}+25}, logo
\mathcal{L}\{-5\cos(5t)\} =-5\;\frac{s}{s^{2}+25} =-\frac{5s}{s^{2}+25}.

Passo 5

Somando os três resultados, obtemos
F(s) =\frac{4}{s^{4}} +\frac{4}{(s+4)^{3}} -\frac{5s}{s^{2}+25}.
Comparando com as opções, é a alternativa (B).

Resposta

B) F(s)=\dfrac{4}{s^{4}}+\dfrac{4}{(s+4)^{3}}-\dfrac{5s}{s^{2}+25}

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