1. Sendo A=\left[\begin{array}{cc}4 & 1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{c}24 \\\\ 6\end{array}\right], calcule a matriz X, tal que A \cdot X=B.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 1 \\[6pt] 2 & -1\end{pmatrix}
e o vetor coluna
B = \begin{pmatrix}24 \\[3pt] 6\end{pmatrix}
e pede a solução X do sistema matricial
A \cdot X = B.
O conteúdo envolvido é resolução de sistema linear por inversão de matriz: quando \det(A)\neq0, temos
X = A^{-1}B.]

Passo 2

Calculamos primeiro o determinante de A:
\det(A) = 4\cdot(-1) - 2\cdot1 = -4 - 2 = -6.
Como \det(A)\neq0, A é invertível. A fórmula da matriz inversa 2\times2 é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12}\\[3pt] - a_{21} & a_{11} \end{pmatrix},
para A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[3pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}. Aqui a_{11}=4, a_{12}=1, a_{21}=2, a_{22}=-1. Logo
A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{pmatrix} -1 & -1\\[3pt] -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\[3pt] \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora multiplicamos A^{-1} por B:
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\[3pt] \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}24 \\[3pt]6\end{pmatrix}.
Calculando cada componente, temos
x_1 = \frac{1}{6}\cdot24 + \frac{1}{6}\cdot6 = \frac{24+6}{6} = \frac{30}{6} = 5,
x_2 = \frac{1}{3}\cdot24 - \frac{2}{3}\cdot6 = 8 - 4 = 4.
Assim,
X = \begin{pmatrix}5 \\[3pt]4\end{pmatrix}.]

Resposta

X = \begin{pmatrix}5 \\[3pt]4\end{pmatrix}.]

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