Sendo \log _{5} 2=0,43, utilize as propriedades e calcule os logaritmos:
\log _{5} 0,8

Passo 1

O enunciado nos dá a informação
\log_{5} 2 = 0,43
e pede para calcular
\log_{5} 0,8.
Informações relevantes extraídas do enunciado (relevantes para usar nas propriedades de logaritmo):
0,8 = \frac{4}{5} = \frac{2^{2}}{5}.

Passo 2

Vamos lembrar e entender a propriedade do logaritmo para quocientes. A regra é
\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{a} x - \log_{a} y.
Por que isso vale? Seja u=\log_{a} x e v=\log_{a} y. Então x=a^{u} e y=a^{v}. Assim
\frac{x}{y}=\frac{a^{u}}{a^{v}}=a^{u-v},
logo
\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right)=u-v=\log_{a} x - \log_{a} y.
Isto significa que o logaritmo de uma divisão vira a diferença dos logaritmos — é como transformar divisão em subtração, bem prático na prova.

Passo 3

Outra propriedade que vamos usar é a do expoente:
\log_{a}\!\left(x^{k}\right) = k\,\log_{a} x.
Explicando: se \log_{a} x = u então x=a^{u}, então x^{k}=a^{ku} e portanto \log_{a}(x^{k})=ku. Ou seja, potências saem como fator na frente do logaritmo — transforma potência em multiplicação.

Passo 4

Agora aplicamos as propriedades ao nosso número 0,8. Usando a escrita em fração que pegamos no Passo 1:
\log_{5} 0,8 = \log_{5}\!\left(\frac{4}{5}\right).
Pelo Passo 2 (quociente),
\log_{5}\!\left(\frac{4}{5}\right)=\log_{5}4 - \log_{5}5.
Sabemos que \log_{5}5 = 1 (porque 5^{1}=5). E escrevendo 4 como 2^{2} e usando a propriedade do expoente (Passo 3),
\log_{5}4 = \log_{5}\!\left(2^{2}\right) = 2\,\log_{5}2.
Agora substituímos a informação dada \log_{5}2=0,43:
\log_{5}0,8 = 2\cdot 0,43 - 1.
Calculemos os passos aritméticos com calma: 2\cdot 0,43 = 0,86. Então
\log_{5}0,8 = 0,86 - 1 = -0,14.

Passo 5

Resumo final: usando as propriedades de quociente e potência e a informação dada, chegamos ao valor numérico de \log_{5}0,8. Parabéns — deu certo! Se ficou alguma dúvida sobre a propriedade que usei, posso mostrar mais exemplos rapidinho.

Resposta

\log_{5}0,8 = -0,14

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