Sendo
para uma reação simples de
Ordem em volume constante determine k et. E sabendo que em
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dado que a conversão de reagente
em um sistema a volume constante é ) em um certo instante (esse instante é a incógnita que devemos encontrar). - Sabendo também que em ) a conversão é ).
- Pedidos: determinar a constante de velocidade ) e o tempo ) correspondente a ).
Dados relevantes listados:
Passo 2
Primeiro vamos relacionar conversão com concentração. A conversão
) é definida como a fração do reagente consumido em relação à quantidade inicial. Se
) é a concentração inicial e
) é a concentração no tempo
), então
Aqui cada símbolo significa:
-
): fração convertida de
no tempo ) (varia entre e ). -
): concentração inicial de
. -
): concentração de
no tempo ).
Passo 3
Para uma reação de primeira ordem a lei de taxa é
onde
) é a constante de velocidade. Vamos integrar essa equação diferencial (vou mostrar passo a passo):
- Separe variáveis:
- Integre de
) (em
) até ) (em ):
- As integrais dão logaritmos naturais:
- Isolando ):
Passo 4
Agora use a relação entre conversão e concentração (Passo 2) substituindo
da equação integrada (Passo 3):
Esta fórmula é central: ela dá a conversão em função do tempo para uma reação de primeira ordem em volume constante.
Passo 5
Determine
) usando o ponto conhecido
) em
).
Comece substituindo
) e
) na fórmula:
Isolando a exponencial:
Tome o logaritmo natural em ambos os lados:
Logo
Usando a propriedade
, obtemos uma forma mais simples
Agora o valor numérico (aproximação):
Comentário curto e motivador: isso significa que a constante de velocidade é essa — e percebe que o tempo de meia-vida
) aqui é exatamente
, coerente com o dado.
Passo 6
Determine o tempo
) para
) usando a mesma fórmula:
Substitua
):
Isolando a exponencial:
Tome ln:
Como
, temos
Usando
e
, podemos simplificar antes de calcular:
Fazendo numérico diretamente também dá:
Intuição rápida: como
) foi alcançado em
(uma meia-vida), chegar a
exige duas meias-vidas, ou seja
.