Sendo \mathrm{x}_{\mathrm{A}}=75 \% para uma reação simples de 1^{\circ} Ordem em volume constante determine k et. E sabendo que em 5 \mathrm{~s} \mathrm{x}_{\mathrm{A}}=50 \%.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dado que a conversão de reagente A em um sistema a volume constante é \(x_A=75\%) em um certo instante (esse instante é a incógnita t que devemos encontrar).
  • Sabendo também que em \(t=5\\ \mathrm{s}) a conversão é \(x_A=50\%).
  • Pedidos: determinar a constante de velocidade \(k) e o tempo \(t) correspondente a \(x_A=75\%).
Dados relevantes listados:
x_A(5\\ \mathrm{s}) = 50\%,\quad x_A = 75\%\\ (\text{procurar } t).

Passo 2

Primeiro vamos relacionar conversão com concentração. A conversão \(x_A) é definida como a fração do reagente consumido em relação à quantidade inicial. Se \(C_{A0}) é a concentração inicial e \(C_A(t)) é a concentração no tempo \(t), então
x_A(t) = 1 - \frac{C_A(t)}{C_{A0}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \(x_A(t)): fração convertida de A no tempo \(t) (varia entre 0 e 1).
  • \(C_{A0}): concentração inicial de A.
  • \(C_A(t)): concentração de A no tempo \(t).

Passo 3

Para uma reação de primeira ordem a lei de taxa é
-\frac{dC_A}{dt} = k\,C_A,
onde \(k) é a constante de velocidade. Vamos integrar essa equação diferencial (vou mostrar passo a passo):
  1. Separe variáveis:
\frac{dC_A}{C_A} = -k\,dt.
  1. Integre de \(C_{A0}) (em t=0) até \(C_A(t)) (em t):
\int_{C_{A0}}^{C_A(t)} \frac{dC_A}{C_A} = -k \int_{0}^{t} dt.
  1. As integrais dão logaritmos naturais:
\ln\!\bigg(\frac{C_A(t)}{C_{A0}}\bigg) = -k t.
  1. Isolando \(C_A(t)):
C_A(t) = C_{A0}\,e^{-k t}.

Passo 4

Agora use a relação entre conversão e concentração (Passo 2) substituindo C_A(t) da equação integrada (Passo 3):
x_A(t) = 1 - \frac{C_A(t)}{C_{A0}} = 1 - e^{-k t}.
Esta fórmula é central: ela dá a conversão em função do tempo para uma reação de primeira ordem em volume constante.

Passo 5

Determine \(k) usando o ponto conhecido \(x_A=50\%) em \(t=5\\ \mathrm{s}).
Comece substituindo \(x_A=0{,}5) e \(t=5) na fórmula:
0{,}5 = 1 - e^{-k\cdot 5}.
Isolando a exponencial:
e^{-5k} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5.
Tome o logaritmo natural em ambos os lados:
-5k = \ln(0{,}5).
Logo
k = -\frac{1}{5}\ln(0{,}5).
Usando a propriedade \ln(0{,}5) = -\ln 2, obtemos uma forma mais simples
k = \frac{\ln 2}{5}.
Agora o valor numérico (aproximação):
k = \frac{\ln 2}{5} \approx 0{,}1386\\ \mathrm{s}^{-1}.
Comentário curto e motivador: isso significa que a constante de velocidade é essa — e percebe que o tempo de meia-vida \(t_{1/2}=\ln 2 / k) aqui é exatamente 5\\ \mathrm{s}, coerente com o dado.

Passo 6

Determine o tempo \(t) para \(x_A=75\%) usando a mesma fórmula:
x_A(t) = 1 - e^{-k t}.
Substitua \(x_A=0{,}75):
0{,}75 = 1 - e^{-k t}.
Isolando a exponencial:
e^{-k t} = 1 - 0{,}75 = 0{,}25.
Tome ln:
-kt = \ln(0{,}25).
Como \ln(0{,}25) = -\ln 4, temos
t = \frac{\ln 4}{k}.
Usando \ln 4 = 2\ln 2 e k = \dfrac{\ln 2}{5}, podemos simplificar antes de calcular:
t = \frac{2\ln 2}{\ln 2/5} = 2\cdot 5 = 10\\ \mathrm{s}.
Fazendo numérico diretamente também dá:
t = \frac{\ln 4}{0{,}1386\\ \mathrm{s}^{-1}} \approx 10\\ \mathrm{s}.
Intuição rápida: como \(50\%) foi alcançado em 5\\ \mathrm{s} (uma meia-vida), chegar a 75\% exige duas meias-vidas, ou seja 2\times 5\\ \mathrm{s}=10\\ \mathrm{s}.

Resposta

k = \dfrac{\ln 2}{5} \approx 0{,}1386\\ \mathrm{s}^{-1}
t = 10\\ \mathrm{s}

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