Sendo \mathrm{A}=\left(\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right) e \mathrm{B}=\left(\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right), calcule as matrizes X e Y no sistema \left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{X}+3 \mathrm{Y}=\mathrm{B} \\\\ 3 \mathrm{X}+2 \mathrm{Y}=\mathrm{A}\end{array}\right..
e pede para calcular as matrizes desconhecidas \mathrm{X}\) e \(\mathrm{Y}\) que satisfazem o sistema
\[\begin{cases} 2\mathrm{X}+3\mathrm{Y}=\mathrm{B},\\[4pt] 3\mathrm{X}+2\mathrm{Y}=\mathrm{A}. \end{cases}
Informações relevantes listadas:
\mathrm{X}\] e \(\mathrm{Y} são matrizes 2\times2 (mesma ordem de \mathrm{A} e \mathrm{B}).
As equações são combinações lineares de \mathrm{X} e \mathrm{Y} com coeficientes escalares 2 e 3.
O objetivo é encontrar \mathrm{X} e \mathrm{Y} explicitamente.]
Passo 2
Ideia de solução (explicação didática): como os coeficientes que combinam \mathrm{X} e \mathrm{Y} são escalares, podemos tratar o sistema como um sistema linear de duas equações nas incógnitas “matrizes” \mathrm{X} e \mathrm{Y}. Escrevendo em forma matricial de coeficientes escalares,
Para resolver, usamos a inversa da matriz dos coeficientes escalares se ela existir. Isso é análogo a resolver um sistema linear numérico: a inversa existe quando o determinante é diferente de zero.]
Passo 3
Calcular o determinante da matriz de coeficientes escalares
M=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando:
\det(M)=2\cdot2-3\cdot3=4-9=-5.
Como \det(M)=-5\neq0, a matriz M é invertível e podemos usar M^{-1} para resolver o sistema.]
Passo 4
Fórmula e cálculo da inversa de uma 2\times2: para \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} temos
Explicação: multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada por esse escalar; somar matrizes significa somar entrada a entrada.]
Passo 6
Calcular \mathrm{X}=-\dfrac{2}{5}\mathrm{B}+\dfrac{3}{5}\mathrm{A} elemento a elemento.
Verificação rápida (aprendizado): verificar que as soluções satisfazem as equações originais calculando 2\mathrm{X}+3\mathrm{Y} e 3\mathrm{X}+2\mathrm{Y}.