Sendo \mathrm{A}=\left(\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right) e \mathrm{B}=\left(\begin{array}{rr}0 & -1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right), calcule as matrizes X e Y no sistema \left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{X}+3 \mathrm{Y}=\mathrm{B} \\\\ 3 \mathrm{X}+2 \mathrm{Y}=\mathrm{A}\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}
e pede para calcular as matrizes desconhecidas \mathrm{X}\) e \(\mathrm{Y}\) que satisfazem o sistema \[\begin{cases} 2\mathrm{X}+3\mathrm{Y}=\mathrm{B},\\[4pt] 3\mathrm{X}+2\mathrm{Y}=\mathrm{A}. \end{cases}
Informações relevantes listadas:
  • \mathrm{X}\] e \(\mathrm{Y} são matrizes 2\times2 (mesma ordem de \mathrm{A} e \mathrm{B}).
  • As equações são combinações lineares de \mathrm{X} e \mathrm{Y} com coeficientes escalares 2 e 3.
  • O objetivo é encontrar \mathrm{X} e \mathrm{Y} explicitamente.]

Passo 2

Ideia de solução (explicação didática): como os coeficientes que combinam \mathrm{X} e \mathrm{Y} são escalares, podemos tratar o sistema como um sistema linear de duas equações nas incógnitas “matrizes” \mathrm{X} e \mathrm{Y}. Escrevendo em forma matricial de coeficientes escalares,
\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathrm{X}\\[4pt]\mathrm{Y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathrm{B}\\[4pt]\mathrm{A}\end{pmatrix}.
Para resolver, usamos a inversa da matriz dos coeficientes escalares se ela existir. Isso é análogo a resolver um sistema linear numérico: a inversa existe quando o determinante é diferente de zero.]

Passo 3

Calcular o determinante da matriz de coeficientes escalares
M=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
O determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando:
\det(M)=2\cdot2-3\cdot3=4-9=-5.
Como \det(M)=-5\neq0, a matriz M é invertível e podemos usar M^{-1} para resolver o sistema.]

Passo 4

Fórmula e cálculo da inversa de uma 2\times2: para \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} temos
\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -c&a\end{pmatrix}.
Aplicando a M com a=2,b=3,c=3,d=2:
M^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]-3 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{2}{5} & \frac{3}{5}\\[4pt]\frac{3}{5} & -\frac{2}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Usando M^{-1} para obter \mathrm{X} e \mathrm{Y}:
\begin{pmatrix}\mathrm{X}\\[4pt]\mathrm{Y}\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}\mathrm{B}\\[4pt]\mathrm{A}\end{pmatrix}.
Multiplicando, obtemos expressões escalares- matriciais (cada operação escala o bloco-matriz correspondente):
\mathrm{X}=-\frac{2}{5}\mathrm{B}+\frac{3}{5}\mathrm{A}, \qquad \mathrm{Y}=\frac{3}{5}\mathrm{B}-\frac{2}{5}\mathrm{A}.
Explicação: multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada por esse escalar; somar matrizes significa somar entrada a entrada.]

Passo 6

Calcular \mathrm{X}=-\dfrac{2}{5}\mathrm{B}+\dfrac{3}{5}\mathrm{A} elemento a elemento.
Primeiro calcule \dfrac{3}{5}\mathrm{A}:
\frac{3}{5}\mathrm{A} =\frac{3}{5}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{6}{5} & -\frac{3}{5}\\[4pt]\frac{9}{5} & \frac{6}{5}\end{pmatrix}.
Agora calcule -\dfrac{2}{5}\mathrm{B}:
-\frac{2}{5}\mathrm{B} =-\frac{2}{5}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & \frac{2}{5}\\[4pt]\frac{2}{5} & -\frac{2}{5}\end{pmatrix}.
Somando essas duas matrizes entrada a entrada:
\mathrm{X} =\begin{pmatrix}\frac{6}{5}+0 & -\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\\[4pt]\frac{9}{5}+\frac{2}{5} & \frac{6}{5}-\frac{2}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{6}{5} & -\frac{1}{5}\\[4pt]\frac{11}{5} & \frac{4}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular \mathrm{Y}=\dfrac{3}{5}\mathrm{B}-\dfrac{2}{5}\mathrm{A} elemento a elemento.
Primeiro calcule \dfrac{3}{5}\mathrm{B}:
\frac{3}{5}\mathrm{B} =\frac{3}{5}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -\frac{3}{5}\\[4pt]-\frac{3}{5} & \frac{3}{5}\end{pmatrix}.
Agora calcule \dfrac{2}{5}\mathrm{A}:
\frac{2}{5}\mathrm{A} =\frac{2}{5}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{4}{5} & -\frac{2}{5}\\[4pt]\frac{6}{5} & \frac{4}{5}\end{pmatrix}.
Subtraindo entrada a entrada:
\mathrm{Y} =\begin{pmatrix}0-\frac{4}{5} & -\frac{3}{5}-\bigl(-\frac{2}{5}\bigr)\\[4pt]-\frac{3}{5}-\frac{6}{5} & \frac{3}{5}-\frac{4}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\frac{4}{5} & -\frac{1}{5}\\[4pt]-\frac{9}{5} & -\frac{1}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (aprendizado): verificar que as soluções satisfazem as equações originais calculando 2\mathrm{X}+3\mathrm{Y} e 3\mathrm{X}+2\mathrm{Y}.
Calcule 2\mathrm{X} e 3\mathrm{Y}:
2\mathrm{X}=2\begin{pmatrix}\tfrac{6}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt]\tfrac{11}{5} & \tfrac{4}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{12}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[4pt]\tfrac{22}{5} & \tfrac{8}{5}\end{pmatrix}, \qquad 3\mathrm{Y}=3\begin{pmatrix}-\tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{9}{5} & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\tfrac{12}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[4pt]-\tfrac{27}{5} & -\tfrac{3}{5}\end{pmatrix}.
Somando:
2\mathrm{X}+3\mathrm{Y} =\begin{pmatrix}0 & -\tfrac{5}{5}\\[4pt]-\tfrac{5}{5} & \tfrac{5}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=\mathrm{B},
ok.
Calcule 3\mathrm{X} e 2\mathrm{Y}:
3\mathrm{X}=\begin{pmatrix}\tfrac{18}{5} & -\tfrac{3}{5}\\[4pt]\tfrac{33}{5} & \tfrac{12}{5}\end{pmatrix}, \qquad 2\mathrm{Y}=\begin{pmatrix}-\tfrac{8}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[4pt]-\tfrac{18}{5} & -\tfrac{2}{5}\end{pmatrix}.
Somando:
3\mathrm{X}+2\mathrm{Y} =\begin{pmatrix}\tfrac{10}{5} & -\tfrac{5}{5}\\[4pt]\tfrac{15}{5} & \tfrac{10}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}=\mathrm{A},
ok. Isso confirma que \mathrm{X} e \mathrm{Y} estão corretas.]

Resposta

\mathrm{X}=\begin{pmatrix}\dfrac{6}{5} & -\dfrac{1}{5}\\[6pt]\dfrac{11}{5} & \dfrac{4}{5}\end{pmatrix}
\mathrm{Y}=\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{5} & -\dfrac{1}{5}\\[6pt]-\dfrac{9}{5} & -\dfrac{1}{5}\end{pmatrix}]

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