Sendo \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] e \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 1 & 2\end{array}\right], mostre que (A \cdot B)^{T}=B^{T} \cdot A^{T}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & 2\end{pmatrix}
e pede para mostrar que a transposta do produto A\cdot B coincide com o produto das transpostas na ordem inversa, isto é,
(A\cdot B)^{T} \;=\; B^{T}\cdot A^{T}.
O conteúdo aqui é a propriedade da transposta de um produto de matrizes.

Passo 2

Calcular o produto A\cdot B. Usando a definição de multiplicação de matrizes, cada entrada de A\cdot B é soma de produtos das linhas de A pelas colunas de B. Assim,
A\cdot B =\begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot1 & 1\cdot0+2\cdot2\\\\ 3\cdot2+4\cdot1 & 3\cdot0+4\cdot2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 & 4\\\\ 10 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora tomamos a transposta de A\cdot B. Lembrando que a transposta inverte linhas e colunas,
(A\cdot B)^{T} =\begin{pmatrix} 4 & 4\\\\ 10 & 8 \end{pmatrix}^{T} =\begin{pmatrix} 4 & 10\\\\ 4 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida, calculamos as transpostas de A e de B separadamente:
A^{T} =\begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 3 & 4 \end{pmatrix}^{T} =\begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B^{T} =\begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 1 & 2 \end{pmatrix}^{T} =\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora multiplicamos B^{T} por A^{T}, de novo usando a definição de produto de matrizes:
B^{T}\cdot A^{T} =\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot1+1\cdot2 & 2\cdot3+1\cdot4\\\\ 0\cdot1+2\cdot2 & 0\cdot3+2\cdot4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 & 10\\\\ 4 & 8 \end{pmatrix}.

Passo 6

Comparando os resultados de (A\cdot B)^{T} e de B^{T}\cdot A^{T}, vemos que ambas as matrizes são iguais:
(A\cdot B)^{T} =\begin{pmatrix}4 & 10\\\ 4 & 8\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B^{T}\cdot A^{T} =\begin{pmatrix}4 & 10\\\ 4 & 8\end{pmatrix}.
Logo a propriedade está verificada numericamente.

Resposta

(A\cdot B)^{T}=B^{T}\cdot A^{T}.

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