Sendo
e
matrizes do mesmo tipo, classifique como
ou
cada uma das seguintes afirmações:
a)
, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz
.
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado dá três matrizes
,
e
do mesmo tipo e pede para classificar cada afirmação como verdadeira (
) ou falsa (
). O conteúdo aqui envolve as propriedades de soma, subtração e transposição de matrizes.
Passo 2
Para a afirmação a) usamos o conceito de inverso aditivo em espaços vetoriais (as matrizes formam um espaço vetorial). Por definição,
é tal que
onde
é a matriz nula. Portanto, a) é verdadeira.
Passo 3
Na afirmação b) verificamos a comutatividade da soma de matrizes. Em qualquer espaço vetorial (e, em particular, no espaço de matrizes),
Logo, b) é verdadeira.
Passo 4
Na afirmação c) usamos a associatividade da soma de matrizes. Para todas as matrizes
,
e
,
Portanto, c) é verdadeira.
Passo 5
Na afirmação d) testamos a associatividade da subtração. Calculando cada lado:
Esses resultados só coincidem se
, mas em geral são diferentes. Logo, d) é falsa.
Passo 6
Na afirmação e) usamos a propriedade de linearidade da transposição. Para quaisquer matrizes
e
,
Portanto, e) é verdadeira.
Passo 7
Na afirmação f) testamos a comutatividade da subtração. Em geral,
logo
exceto no caso
. Portanto, f) é falsa.
Resposta
a) V
b) V
c) V
d) F
e) V
f) F
b) V
c) V
d) F
e) V
f) F