Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo, classifique como V ou F cada uma das seguintes afirmações:
a) A+(-A)=0, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A.
b) A+B=B+A
c) (A+B)+C=A+(B+C)
d) (A-B)-C=A-(B-C)
e) (A+B)^t=A^t+B^t
f) A-B=B-A

Passo 1

O enunciado dá três matrizes A, B e C do mesmo tipo e pede para classificar cada afirmação como verdadeira ( V) ou falsa ( F). O conteúdo aqui envolve as propriedades de soma, subtração e transposição de matrizes.

Passo 2

Para a afirmação a) usamos o conceito de inverso aditivo em espaços vetoriais (as matrizes formam um espaço vetorial). Por definição, -A é tal que
A + (-A) = 0
onde 0 é a matriz nula. Portanto, a) é verdadeira.

Passo 3

Na afirmação b) verificamos a comutatividade da soma de matrizes. Em qualquer espaço vetorial (e, em particular, no espaço de matrizes),
A + B = B + A
Logo, b) é verdadeira.

Passo 4

Na afirmação c) usamos a associatividade da soma de matrizes. Para todas as matrizes A, B e C,
(A + B) + C = A + (B + C)
Portanto, c) é verdadeira.

Passo 5

Na afirmação d) testamos a associatividade da subtração. Calculando cada lado:
(A - B) - C = A - B - C,
A - (B - C) = A - B + C
Esses resultados só coincidem se C=0, mas em geral são diferentes. Logo, d) é falsa.

Passo 6

Na afirmação e) usamos a propriedade de linearidade da transposição. Para quaisquer matrizes A e B,
(A + B)^t = A^t + B^t
Portanto, e) é verdadeira.

Passo 7

Na afirmação f) testamos a comutatividade da subtração. Em geral,
A - B = -(B - A),
logo A - Bneq B - A exceto no caso A=B. Portanto, f) é falsa.

Resposta

a) V
b) V
c) V
d) F
e) V
f) F

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