Sendo \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre eles, calcular:
(a) \vec{v} \cdot \vec{u};
(b) \|\vec{u}+\vec{v}\|;

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \vec u e \vec v com \|\vec u\|=2, \|\vec v\|=3 e ângulo de 120^\circ entre eles. Pede (a) o produto escalar \vec v\cdot\vec u e (b) a norma de \vec u+\vec v. Vamos usar definições de produto escalar e propriedades de normas.

Passo 2

Produto escalar definido por \vec v\cdot \vec u = \|\vec v\|\|\vec u\|\cos\theta. Substituindo \|\vec v\|=3, \|\vec u\|=2 e \theta=120^\circ com \cos120^\circ=-\tfrac12:
\vec v\cdot\vec u = 3\cdot2\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) = -3.

Passo 3

A norma de \vec u+\vec v obedece
\|\vec u+\vec v\| = \sqrt{\|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v}.
Como \|\vec u\|^2=4, \|\vec v\|^2=9 e \vec u\cdot\vec v=-3, resulta
\|\vec u+\vec v\| = \sqrt{4+9+2\cdot(-3)} = \sqrt{7}.

Resposta

(a) -3.
(b) \sqrt{7}.

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