Sendo P e Q dois conjuntos nāo vazios, de modo que P \subset Q, indique apenas as afirmações verdadeiras.
a) Sempre existe x, x \in P, tal que x \notin Q
b) Sempre existe x, x \in Q, tal que x \in P.
c) Se x \in Q, entāo x \in P.
(d) Se x \notin Q, então x \notin P.
c) P e Q não têm elementos em comum.

Passo 1

O enunciado dá as hipóteses e pede que se indique apenas as afirmações verdadeiras. Hipóteses e o que é pedido:
  • Hipóteses:
    • P e Q são conjuntos não vazios.
    • P \subset Q (interpretado como todo elemento de P pertence a Q; se houver ambiguidade sobre “próprio” ou “não próprio”, isso não afeta as conclusões abaixo).
  • O enunciado apresenta as afirmações a verificar:
    • (a) Sempre existe x,\; x\in P, tal que x\notin Q.
    • (b) Sempre existe x,\; x\in Q, tal que x\in P.
    • (c) Se x\in Q, então x\in P.
    • (d) Se x\notin Q, então x\notin P.
    • (c’) P e Q não têm elementos em comum.
  • Pedido: indicar quais dessas afirmações são verdadeiras, e somente elas.

Passo 2

Recordar com precisão o que significa P\subset Q. Por definição lógica:
P\subset Q \quad\Longleftrightarrow\quad \forall x\,(x\in P \Rightarrow x\in Q).
Isto é: para qualquer elemento x, se x está em P então esse mesmo x está em Q. Também lembrar que P não é vazio, então
\exists a\,(a\in P).
Essas duas fórmulas são as ferramentas básicas que vamos usar.

Passo 3

Explicar os quantificadores rapidamente (pra não ter confusão):
  • A expressão “sempre existe x\in P tal que …” corresponde a \exists x\,(x\in P \land \cdots).
  • A expressão "se x\in P então x\in Q" é uma implicação universal: \forall x\,(x\in P \Rightarrow x\in Q).
  • A negação de uma implicação (A\Rightarrow B) ocorre quando (A\land \neg B) é verdadeiro — isto é útil para construir contraexemplos.

Passo 4

Analisar a afirmação (a): “Sempre existe x,\; x\in P, tal que x\notin Q.”
Raciocínio:
  • Pela definição de P\subset Q temos \forall x\,(x\in P \Rightarrow x\in Q).
  • Isso impede que exista x com x\in P e x\notin Q simultaneamente.
  • Logo a afirmação que diz que sempre existe tal x é falsa.
Contraexemplo concreto (muito útil na prova): tome P=\{1\} e Q=\{1\}. Então P\subset Q e P não é vazio, mas não existe x\in P com x\notin Q. Portanto (a) é falsa.

Passo 5

Analisar a afirmação (b): “Sempre existe x,\; x\in Q, tal que x\in P.”
Raciocínio:
  • Sabemos que P não é vazio: \exists a\,(a\in P).
  • Pelo fato P\subset Q temos, para esse mesmo a, que a\in Q.
  • Então existe um elemento a que pertence tanto a P quanto a Q.
  • Em linguagem lógica:
\exists a\,(a\in P)\quad\text{e}\quad \forall x\,(x\in P\Rightarrow x\in Q)
implicam
\exists a\,(a\in Q \land a\in P).
  • Portanto existe x\in Q tal que x\in P. Conclusão: (b) é verdadeira.

Passo 6

Analisar a afirmação (c): “Se x\in Q, então x\in P.”
Raciocínio:
  • A afirmativa equivale a \forall x\,(x\in Q \Rightarrow x\in P), ou seja Q\subset P.
  • Porém a hipótese nos dá apenas P\subset Q. Em geral isso não implica Q\subset P.
  • Contraexemplo: tome P=\{1\} e Q=\{1,2\}. Então P\subset Q e P não vazio, mas 2\in Q e 2\notin P. Assim existe x\in Q que não está em P.
  • Logo (c) é falsa, salvo em casos especiais (quando P=Q), mas não é verdadeira “sempre”.

Passo 7

Analisar a afirmação (d): “Se x\notin Q, então x\notin P.”
Raciocínio com lógica (contrapositiva):
  • A hipótese \forall x\,(x\in P \Rightarrow x\in Q) tem como contrapositiva lógica equivalente
\forall x\,(\neg(x\in Q) \Rightarrow \neg(x\in P)),
que em notação habitual é exatamente
\forall x\,(x\notin Q \Rightarrow x\notin P).
  • Como uma implicação e a sua contrapositiva são logicamente equivalentes, a afirmação (d) segue diretamente de P\subset Q.
  • Portanto (d) é verdadeira.

Passo 8

Analisar a afirmação final (c’): " P e Q não têm elementos em comum." (isto é, P\cap Q=\varnothing.)
Raciocínio:
  • Sabemos P\subset Q e P não vazio, então qualquer a\in P também está em Q.
  • Logo existe pelo menos um elemento em comum: a\in P\cap Q.
  • Portanto não é verdade que P\cap Q=\varnothing. A afirmação (c’) é falsa.

Resposta

b) Verdadeira
(d) Verdadeira

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