Sendo
e
dois conjuntos nāo vazios, de modo que
, indique apenas as afirmações verdadeiras.
a) Sempre existe
, tal que
b) Sempre existe
, tal que
.
c) Se
, entāo
.
(d) Se
, então
.
c)
e
não têm elementos em comum.
a) Sempre existe
b) Sempre existe
c) Se
(d) Se
c)
Passo 1
O enunciado dá as hipóteses e pede que se indique apenas as afirmações verdadeiras. Hipóteses e o que é pedido:
- Hipóteses:
-
e são conjuntos não vazios. -
(interpretado como todo elemento de pertence a ; se houver ambiguidade sobre “próprio” ou “não próprio”, isso não afeta as conclusões abaixo).
-
- O enunciado apresenta as afirmações a verificar:
- (a) Sempre existe
, tal que . - (b) Sempre existe
, tal que . - (c) Se
, então . - (d) Se
, então . - (c’)
e não têm elementos em comum.
- (a) Sempre existe
- Pedido: indicar quais dessas afirmações são verdadeiras, e somente elas.
Passo 2
Recordar com precisão o que significa
. Por definição lógica:
Isto é: para qualquer elemento
, se
está em
então esse mesmo
está em
. Também lembrar que
não é vazio, então
Essas duas fórmulas são as ferramentas básicas que vamos usar.
Passo 3
Explicar os quantificadores rapidamente (pra não ter confusão):
- A expressão “sempre existe
tal que …” corresponde a . - A expressão "se
então " é uma implicação universal: . - A negação de uma implicação
ocorre quando é verdadeiro — isto é útil para construir contraexemplos.
Passo 4
Analisar a afirmação (a): “Sempre existe
, tal que
.”
Raciocínio:
- Pela definição de
temos . - Isso impede que exista
com e simultaneamente. - Logo a afirmação que diz que sempre existe tal
é falsa.
Contraexemplo concreto (muito útil na prova): tome
e
. Então
e
não é vazio, mas não existe
com
. Portanto (a) é falsa.
Passo 5
Analisar a afirmação (b): “Sempre existe
, tal que
.”
Raciocínio:
- Sabemos que
não é vazio: . - Pelo fato
temos, para esse mesmo , que . - Então existe um elemento
que pertence tanto a quanto a . - Em linguagem lógica:
implicam
- Portanto existe
tal que . Conclusão: (b) é verdadeira.
Passo 6
Analisar a afirmação (c): “Se
, então
.”
Raciocínio:
- A afirmativa equivale a
, ou seja . - Porém a hipótese nos dá apenas
. Em geral isso não implica . - Contraexemplo: tome
e . Então e não vazio, mas e . Assim existe que não está em . - Logo (c) é falsa, salvo em casos especiais (quando
), mas não é verdadeira “sempre”.
Passo 7
Analisar a afirmação (d): “Se
, então
.”
Raciocínio com lógica (contrapositiva):
- A hipótese
tem como contrapositiva lógica equivalente
que em notação habitual é exatamente
- Como uma implicação e a sua contrapositiva são logicamente equivalentes, a afirmação (d) segue diretamente de
. - Portanto (d) é verdadeira.
Passo 8
Analisar a afirmação final (c’): "
e
não têm elementos em comum." (isto é,
.)
Raciocínio:
- Sabemos
e não vazio, então qualquer também está em . - Logo existe pelo menos um elemento em comum:
. - Portanto não é verdade que
. A afirmação (c’) é falsa.
Resposta
b) Verdadeira
(d) Verdadeira
(d) Verdadeira