Sendo
o espaco vetorial, quais dos seguintes produtos internos definidos no espaco não o torna normado?
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
com o produto “
” definido por
onde
. Pergunta-se quais produtos internos (dessa lista) não tornam o espaço normado. Para cada forma bilinear, precisamos verificar se ela satisfaz as três propriedades de um produto interno:
- Simetria:
. - Bilinearidade (ou linearidade em cada argumento).
- Definição positiva:
sempre que .
Passo 2
Vamos checar essas propriedades para
- Simetria e bilinearidade são evidentes na definição
. - Para a positividade, note que se
então
pois
e
, e a soma só zera se
e
. Logo a forma é positiva-definida.
Passo 3
Como a forma é simétrica, bilinear e positiva-definida, ela é um produto interno válido em
. Todo produto interno gera uma norma pela regra
Resposta
Nenhum: o produto dado satisfaz todas as condições de produto interno e, portanto, torna
um espaço normado (com
).