Sendo R^2 o espaco vetorial, quais dos seguintes produtos internos definidos no espaco não o torna normado?
v1 cdot v2=2 x1 x2+y1 y2

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial R^2 com o produto “ cdot” definido por
v1 cdot v2 ;=; 2,x1 x2 ;+; y1 y2,
onde vi=(xi,yi). Pergunta-se quais produtos internos (dessa lista) não tornam o espaço normado. Para cada forma bilinear, precisamos verificar se ela satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. Simetria: lang<= v,wrang<==lang<= w,vrang<=.
  2. Bilinearidade (ou linearidade em cada argumento).
  3. Definição positiva: lang<= v,vrang<=>0 sempre que vneq(0,0).

Passo 2

Vamos checar essas propriedades para
lang<= v,vrang<= ;=; 2,x^2 ;+;y^2
  1. Simetria e bilinearidade são evidentes na definição 2x1x2+y1y2.
  2. Para a positividade, note que se v=(x,y)neq(0,0) então
2,x^2 + y^2 ;>;0,
pois 2x^2>=0 e y^2>=0, e a soma só zera se x=0 e y=0. Logo a forma é positiva-definida.

Passo 3

Como a forma é simétrica, bilinear e positiva-definida, ela é um produto interno válido em R^2. Todo produto interno gera uma norma pela regra
|v| = raizlang<= v,vrang<=

Resposta

Nenhum: o produto dado satisfaz todas as condições de produto interno e, portanto, torna R^2 um espaço normado (com |v|=raiz2x^2+y^2).

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