Sendo R^2 o espaco vetorial, quais dos seguintes produtos internos definidos no espaco não o torna normado?
v1 cdot v2=x1 y1+x2 y2

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial R^2 e apresenta o produto interno
v1 cdot v2 = x1y1 + x2y2,
onde v1=(x1,x2) e v2=(y1,y2). Precisamos verificar se esse produto interno define uma norma em R^2.

Passo 2

Para um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= definir uma norma, ele deve satisfazer as propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida. Vamos conferir positividade definida, que é a única que pode falhar em candidatos mal-formados:
lang<= v,vrang<= = x1^2 + x2^2
Note que para todo v=(x1,x2) em R^2 vale x1^2 + x2^2 >= 0, e x1^2 + x2^2 = 0 se e somente se x1=0 e x2=0, isto é, v=0.

Passo 3

Como lang<= v,vrang<= é sempre não-negativo e só zera em v=0, esse produto interno é válido e gera a norma usual em R^2:
|v| = raizlang<= v,vrang<= = raizx1^2 + x2^2

Resposta

Nenhum. O produto interno dado é exatamente o produto escalar usual em R^2 e, portanto, define uma norma.

Exercícios relacionados