Sendo
o espaco vetorial, quais dos seguintes produtos internos definidos no espaco não o torna normado?
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
e apresenta o produto interno
onde
e
. Precisamos verificar se esse produto interno define uma norma em
.
Passo 2
Para um produto interno
definir uma norma, ele deve satisfazer as propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida. Vamos conferir positividade definida, que é a única que pode falhar em candidatos mal-formados:
Note que para todo
em
vale
, e
se e somente se
e
, isto é,
.
Passo 3
Como
é sempre não-negativo e só zera em
, esse produto interno é válido e gera a norma usual em
:
Resposta
Nenhum. O produto interno dado é exatamente o produto escalar usual em
e, portanto, define uma norma.