Verifique (e explique por que) se pi1=pi2 nos seguintes casos:
a)
pi1: X=(2,1,3)+lambda(1,1,-1) mu(1,0,1) pi2: X=(0,1,1)+alpha(1,3,-5)+beta(1,-1,3)
b)
pi1: x-y2+2 z-1=0, pi2:-2 x+y-4 z+2=0

Passo 1

Nós queremos verificar se duas representações de plano definem exatamente o mesmo conjunto de pontos. Isso envolve Geometria Analítica de planos em R^3.
  • No item (a) temos dois planos dados por parametrizações, então vamos calcular seus vetores normais e checar se são proporcionais (o que garante paralelismo) e depois testar se um ponto de pi1 pertence a pi2.
  • No item (b) temos dois planos em forma cartesiana; bastará ver se as equações são múltiplos uma da outra.

Passo 2

Para o item (a), a parametrização de
pi1: X=(2,1,3)+lambda,(1,1,-1)+mu,(1,0,1)
tem dois vetores diretores
v1=(1,1,-1) e v2=(1,0,1).
O vetor normal é dado pelo produto vetorial
n1 =v1timesv2 = i&j&k 1&1&-1 1&0&1 =(1cdot1-(-1)cdot0),i -(1cdot1-(-1)cdot1),j +(1cdot0-1cdot1),k =(1,-2,-1)

Passo 3

Ainda no item (a), para
pi2:X=(0,1,1)+alpha,(1,3,-5)+beta,(1,-1,3)
os vetores diretores são u1=(1,3,-5) e u2=(1,-1,3). O normal é
n2 =u1timesu2 =(4,-8,-4) =4,(1,-2,-1)
Como n2=4,n1, os planos são paralelos (ou coincidentes).

Passo 4

Para garantir que
Isso equivale ao sistema
Da segunda equação vem , . E na terceira:
bate certinho. Logo , o que implica em (a).

Passo 5

No item (b), os planos são
pi1:x-tfrac y2+2z-1=0, pi2:-2x+y-4z+2=0
Note que multiplicando toda a equação de pi1 por -2 obtemos precisamente a equação de pi2. Isso mostra que são a mesma equação de plano, só escritas com coeficientes proporcionais.

Resposta

a) pi1=pi2.
b) pi1=pi2.

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