Verifique (e explique por que) se nos seguintes casos:
a)
b)
Passo 1
Nós queremos verificar se duas representações de plano definem exatamente o mesmo conjunto de pontos. Isso envolve Geometria Analítica de planos em .
No item (a) temos dois planos dados por parametrizações, então vamos calcular seus vetores normais e checar se são proporcionais (o que garante paralelismo) e depois testar se um ponto de pertence a .
No item (b) temos dois planos em forma cartesiana; bastará ver se as equações são múltiplos uma da outra.
Passo 2
Para o item (a), a parametrização de
tem dois vetores diretores e .
O vetor normal é dado pelo produto vetorial
Passo 3
Ainda no item (a), para
pi2:X=(0,1,1)+alpha,(1,3,-5)+beta,(1,-1,3)
os vetores diretores são u1=(1,3,-5) e u2=(1,-1,3). O normal é
n2 =u1timesu2 =(4,-8,-4) =4,(1,-2,-1)
Como n2=4,n1, os planos são paralelos (ou coincidentes).
Passo 4
Para garantir que
Isso equivale ao sistema
Da segunda equação vem , . E na terceira:
bate certinho. Logo , o que implica em (a).
Passo 5
No item (b), os planos são
pi1:x-tfrac y2+2z-1=0, pi2:-2x+y-4z+2=0
Note que multiplicando toda a equação de pi1 por -2 obtemos precisamente a equação de pi2. Isso mostra que são a mesma equação de plano, só escritas com coeficientes proporcionais.