Sendo R^2 o espaco vetorial, quais dos seguintes produtos internos definidos no espaco não o torna normado?
v1 cdot v2=x1 x2+y1^2 y2^2

Passo 1

O enunciado nos dá em R^2 a “forma”
lang<= v1,v2rang<= = x1x2 + y1^2y2^2
e pede para verificar se isso define um produto interno (ou seja, se induz uma norma).

Passo 2

Verificamos a simetria:
x1x2 + y1^2y2^2 = x2x1 + y2^2y1^2,
logo lang<= v1,v2rang<= = lang<= v2,v1rang<=.

Passo 3

Verificamos positividade definida: para v=(x,y),
lang<= v,vrang<= = x^2 + y^4 >= 0
e lang<= v,vrang<= = 0 implica x=0 e y=0, logo v=0. A positividade está ok.

Passo 4

Verificamos bilinearidade (homogeneidade em um dos argumentos). Tomando escalares alpha,beta e vetores u,v,w,
lang<= alpha u + beta v, wrang<= = (alpha ux+beta vx)wx ;+;(alpha uy+beta vy)^2,wy^2,
enquanto
alphalang<= u,wrang<= + betalang<= v,wrang<= =alpha(uxwx+uy^2wy^2)+beta(vxwx+vy^2wy^2)
Como o termo (alpha uy+beta vy)^2 gera alpha^2, alphabeta e beta^2, não coincide com a soma linear. Falha, portanto, homogeneidade.

Resposta

O produto lang<= v1,v2rang<= = x1x2 + y1^2y2^2 não satisfaz bilinearidade e, portanto, não é um produto interno que induza norma em R^2.

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