Sendo
o espaco vetorial, quais dos seguintes produtos internos definidos no espaco não o torna normado?
Passo 1
O enunciado nos dá em
a “forma”
e pede para verificar se isso define um produto interno (ou seja, se induz uma norma).
Passo 2
Verificamos a simetria:
logo
.
Passo 3
Verificamos positividade definida: para
,
e
implica
e
, logo
. A positividade está ok.
Passo 4
Verificamos bilinearidade (homogeneidade em um dos argumentos). Tomando escalares
e vetores
,
enquanto
Como o termo
gera
,
e
, não coincide com a soma linear. Falha, portanto, homogeneidade.
Resposta
O produto
não satisfaz bilinearidade e, portanto, não é um produto interno que induza norma em
.