O valor de m para que os vetores u= (1, m,-3) e v=(m-1,2,1) sejam ortogonais em relação ao produto interno
v1 cdot v2=2 x1 x2+y1 y2+4 z1 z2 ह?
3,5
7. Dado o subespaço S=(x, y, z) / y=- 2 z subset R^3, podemos afirmar que sua dimensão e base sâo:
a) dim S=1 e B=[(1,-2,1)]
b) dim S=2 e B=[(1,0,0),(0,-2,1)]
c) dim S=2 e B=[(1,0,0),(0,-2,0)]
d) dims=1 e B=[(1,-1,0)]
e) dim S=1 e B=[(1,1,1)]

Passo 1

O enunciado pede dois itens: (1) o valor de m que torna os vetores u=(1,m,-3) e v=(m-1,2,1) ortogonais segundo o produto interno definido por lang<= v1,v2rang<==2x1x2+y1y2+4z1z2; (2) determinar dimensão e base do subespaço S=(x,y,z)mid y=-2z. Vamos usar a propriedade de ortogonalidade (produto interno zero) e a parametrização de subespaço linear.

Passo 2

Para impor a ortogonalidade, calculamos
lang<= u,vrang<= =2cdot1cdot(m-1)+mcdot2+4cdot(-3)cdot1 =0
Resolvendo em m:
2(m-1)+2m-12=0 Longrightarrow 2m-2+2m-12=0 Longrightarrow 4m-14=0 Longrightarrow m=72

Passo 3

Para o subespaço S=(x,y,z)mid y=-2z, tomamos x e z como parâmetros livres e escrevemos um vetor genérico. Temos
(x,y,z)=(x,-2z,z)=x,(1,0,0)+z,(0,-2,1)
Os vetores (1,0,0) e (0,-2,1) são independentes e geram S, logo dim S=2.

Resposta

(1) m=tfrac72
(2) dim S=2 e uma base é (1,0,0),(0,-2,1), ou seja, alternativa (b).

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