Quais dos subconjuntos abaixo, munidos das operaçöes triviais é um subespaço vetorial do
?
4. Para que a base
sendo
e
, Para que
seja ortogonal (produto intemo usual), temos que
deva ser?
a)
b)
c)
d)
e)
4. Para que a base
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
. Determinar se
é um subespaço vetorial de
com as operações usuais.
. Dada a base
com
achar
entre as opções fornecidas de modo que
seja ortogonal no produto interno usual.
Passo 2
Para ver se
é subespaço vetorial, checamos as condições:
– Vetor zero: porque
.
– Fechamento em soma: se e
estão em
, sua soma é
, mas é preciso ter
– Vetor zero:
– Fechamento em soma: se
o que só ocorre em casos especiais (por exemplo,
com mesmo sinal). Em geral falha.
– Fechamento em multiplicação por escalar: para , se
então
, mas
– Fechamento em multiplicação por escalar: para
quando
. Falha também.
Conclusão: não é subespaço vetorial.
Conclusão:
Passo 3
Para achar
de modo que
seja ortogonal, impomos
No produto interno usual, isso dá o sistema linear:
Passo 4
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo
em
resulta
, ou seja
. Assim
Passo 5
Entre as opções dadas, apenas
é múltiplo de
. Verificam-se então
Resposta
S não é subespaço vetorial de
.
O vetor deve ser
.
O vetor