Quais dos subconjuntos abaixo, munidos das operaçöes triviais é um subespaço vetorial do R^2 ?
S=(x, y) ; y=|x|
4. Para que a base A=(v1, v2, v3) subset R^3 sendo v1=(1,-2,1) e v2=(1,1,1), Para que A seja ortogonal (produto intemo usual), temos que v3 deva ser?
a) (4,3,1)
b) (-1,0,1)
c) (-2,1,5)
d) (3,-1,2)
e) (0,0,1)

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
1. Determinar se
S = (x,y)in R^2 mid y = |x|
é um subespaço vetorial de R^2 com as operações usuais.
2. Dada a base A=(v1,v2,v3)subsetR^3 com
v1=(1,-2,1), v2=(1,1,1),
achar v3 entre as opções fornecidas de modo que A seja ortogonal no produto interno usual.

Passo 2

Para ver se S é subespaço vetorial, checamos as condições:
– Vetor zero: (0,0)in S porque 0 = |0|.
– Fechamento em soma: se (x1,|x1|) e (x2,|x2|) estão em S, sua soma é
(x1+x2,;|x1|+|x2|), mas é preciso ter
|x1+x2| = |x1| + |x2|,
o que só ocorre em casos especiais (por exemplo, x1,x2 com mesmo sinal). Em geral falha.
– Fechamento em multiplicação por escalar: para lambda<0, se (x,|x|)in S então lambda(x,|x|) = (lambda x,,lambda|x|), mas
|lambda x| = |lambda|,|x| = -lambda,|x|neq lambda,|x|
quando lambda<0. Falha também.
Conclusão: S não é subespaço vetorial.

Passo 3

Para achar v3=(a,b,c) de modo que A seja ortogonal, impomos
v3cdot v1 = 0 e v3cdot v2 = 0
No produto interno usual, isso dá o sistema linear:
a - 2b + c = 0,
a + b + c = 0

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a - 2b + c) - (a + b + c) = 0 - 0 ;Longrightarrow; -3b = 0 ;Longrightarrow; b = 0
Substituindo b=0 em a + b + c = 0 resulta a + c = 0, ou seja c = -a. Assim
v3 = (a,0,-a)propto (1,0,-1)

Passo 5

Entre as opções dadas, apenas (-1,0,1) é múltiplo de (1,0,-1). Verificam-se então
(-1,0,1)cdot(1,-2,1)=0, (-1,0,1)cdot(1,1,1)=0

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^2.
O vetor v3 deve ser ,(-1,0,1).

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