Verifique (e explique por que) se pi1=pi2 nos seguintes casos:
pi1: X=(2,1,3)+lambda(1,1,-1) mu(1,0,1) pi2: X=(0,1,1)+alpha(1,3,-5)+beta(1,-1,3)

Passo 1

O enunciado dá duas representações paramétricas de planos em R^3:
pi1:X=(2,1,3)+lambda(1,1,-1)+mu(1,0,1),
pi2:X=(0,1,1)+alpha(1,3,-5)+beta(1,-1,3)
Queremos verificar se são o mesmo plano, ou seja, se têm o mesmo subespaço direcional e pelo menos um ponto em comum.

Passo 2

Calculamos um vetor normal a cada plano como produto vetorial dos seus vetores diretores. Para pi1 temos diretores (1,1,-1) e (1,0,1), logo
n1=(1,1,-1)times(1,0,1)=(1,-2,-1)
Para pi2 os diretores são (1,3,-5) e (1,-1,3), então
n2=(1,3,-5)times(1,-1,3)=(4,-8,-4)=4,(1,-2,-1)
Como n2 é múltiplo escalar de n1, os planos são paralelos (mesma orientação).

Passo 3

Para ver se coincidem, basta checar se um ponto de
o que gera o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira, e . Na terceira verifica-se que , então o ponto satisfaz todas as equações.

Passo 4

Os planos são paralelos e têm pelo menos um ponto comum, logo coincidem.

Resposta

pi1=pi2

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